Matematyka.pl

Dany jest proces \(\displaystyle{ X(t)=\left[ \begin{array}{c}Usin(t) \\ Ucos(t)\end{array} \right]}\). Wiedząc że \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,\sigma ^2)}\) obliczyć \(\displaystyle{ E[X(t)]}\) oraz \(\displaystyle{ K_x(t_1,t_2)}\)
Policzyłem \(\displaystyle{ E[X(t)]=\left[ \begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)
Następnie liczę:
\(\displaystyle{ K_x(t_1,t_2)=E\left[\left[X(t_1)-E[X(t_1)]\right]\left[X(t_2)-E[X(t_2)]\right]\right] = E[[X(t_1)-\left[ \begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]][X(t_2)-\left[ \begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]]]=E[X(t_1)X(t_2)]}\)
I w końcu moje pytanie w jaki sposób wymnożyć \(\displaystyle{ X(t_1)X(t_2)}\) aby móc policzyć \(\displaystyle{ E[X(t_1)X(t_2)]}\) ?

To jestv proces to nie bój się,żeby parametry zależały od czasu...

nie chodzi o to że zależą od czasu, ale właśnie mnie olśniło nie wiem jak wcześniej nie zauważyłem tego
\(\displaystyle{ X(t_1)X(t_2)=U^2\left[\begin{array}{c}sin(t_1)\\cos(t_1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}sin(t_2)\\cos(t_2)\end{array}\right]}\)
teraz to nie ma najmniejszego problemu

\(\displaystyle{ E \left[X(t)\right]=E \left[ \begin{array}{c}Usin(t) \\ Ucos(t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c}E\left[ Usin(t) \right] \\ E\left[Ucos(t) \right] \end{array} \right]}\)

Jako, że funkcje sinus i cosinus będą jedynie skalować wartość oczekiwaną zmiennej U, to:

\(\displaystyle{ E \left[X(t)\right]=\left[ \begin{array}{c}0 \\ 0\end{array} \right]}\)

Korzystając z tego, co napisano powyżej:

\(\displaystyle{ K_x(t_1,t_2)=E\left[\left[X(t_1)-E[X(t_1)]\right]\left[X(t_2)-E[X(t_2)]\right]\right] = E[[X(t_1)-\left[ \begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]][X(t_2)-\left[ \begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]]]=E[X(t_1)X(t_2)]}\)

\(\displaystyle{ E[X(t_1)X(t_2)]=E[\left[ \begin{array}{c}Usin(t _{1} ) \\ Ucos(t _{1} )\end{array} \right]\left[ \begin{array}{c}Usin(t _{2} ) \\ Ucos(t _{2} )\end{array} \right]] = E[\left[ \begin{array}{c}sin(t _{1} ) \\ cos(t _{1} )\end{array} \right]\left[ \begin{array}{c}sin(t _{2} ) \\ cos(t _{2} )\end{array} \right] \cdot U ^{2} ] =E[U ^{2}] *\left[ \begin{array}{c}sin(t _{1} ) \\ cos(t _{1} )\end{array} \right]\left[ \begin{array}{c}sin(t _{2} ) \\ cos(t _{2} )\end{array} \right]= 0}\)

I teraz pytanie, czy całość jest dobrze rozwiązana???