Matematyka.pl

1) Narysować zbiór liczb z \(\displaystyle{ \in}\) C, które spełniają nierówność Im \(\displaystyle{ ( \frac{iz}{z-10} ) \le 0}\)

2) Wyznaczyć wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ z^{4}= -1 , z \in C}\)

W pierwszym wiem, że muszę przemnożyć mianownik tak, aby pozbyć się z niego części urojonej, jednak mnożenie przez sprzężenie nic nie daje. Natomiast nie mam pojęcia jak zabrać się za drugie.

//edit: poprawione

2) do czego przyrównujesz to wyrażenie?
1)Niech\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
Wówczas
nasze wyrażenie jest postaci
\(\displaystyle{ \frac{ai-b}{a-10+bi}}\)Rozszerzmy przez sprzężenie. Mamy
\(\displaystyle{ \frac{(ai-b)(a-10-bi)}{(a-10)^{2}+b^{2}}= \frac{-ab+10b+ab+i(a^{2}-10a+b^{2}}{mianownik}}\)Mianownik jest dodatni ,więc znak części urojonej zależy od wyrażenia,które później po sprowadzeniu do pełnego kwadratu daje postać
\(\displaystyle{ a^{2}-10a+b^{2}=(a-5)^{2}+b^{2} \le 25}\) a to jest koło o środku 5 i promieniu 5