ekstrema funkcji

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

ekstrema funkcji

Post autor: anetaaneta1 » 14 lut 2012, o 20:31

Wyznaczyć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[3]{\left( x ^{2}-4 \right) ^{2} }}\)

i mam taki problem że wyznaczyłam ekstremum w 0 ale nie wiem co z punktami 2 i -2

Z góry dzięki za pomoc

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

ekstrema funkcji

Post autor: JankoS » 14 lut 2012, o 20:50

W tych punktach są minima lokalne równe 0. W zerze jest maksimum lokalne.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

ekstrema funkcji

Post autor: anetaaneta1 » 14 lut 2012, o 21:02

ale skąd wiadomo że to minima ? jak to wyliczyć ?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

ekstrema funkcji

Post autor: piasek101 » 14 lut 2012, o 22:25

Pochodna i te sprawy.

[edit] Pospieszyłem się - pochodna jest nieokreślona (w 2 i -2).

Ale jej znak w otoczeniu tych punktów można obadać.
A sama funkcja jest ciągła.

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

ekstrema funkcji

Post autor: JankoS » 15 lut 2012, o 02:33

Dla wyznaczenia punktów, w których funkcja ma ekstrema lokalne wystarczy zbadać funkcję podpierwiastkową. Oczywiście przy wyznaczaniu wartości tych ekstremów należy uwzględnić pierwiastek.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

ekstrema funkcji

Post autor: anetaaneta1 » 15 lut 2012, o 09:09

wiem jak wyznaczyć te punkty ale jak udowodnić że w 2 i -2 jest ekstremum przecież tam pochodna się nie zeruje bo te punkty do dziedziny nie należą.

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

ekstrema funkcji

Post autor: JankoS » 15 lut 2012, o 12:53

anetaaneta1 pisze:wiem jak wyznaczyć te punkty ale jak udowodnić że w 2 i -2 jest ekstremum przecież tam pochodna się nie zeruje bo te punkty do dziedziny nie należą.
Punkty nie należą do dziedziny pochodnej, ale należą do dziedziny funkcji.
A udowodnić można z definicji minimum.
Jak widać funkcja może mieć ekstrema w punktach innych od stacjonarnych.
Jeżeli Koleżanka już koniecznie chce zastosować rachunek różniczkowy, to proszę wyznaczyć ekstrema funkcji podpierwiastkowej.f(x) ma ekstrema dla tych samych argumentów; oczywiście wartości są pierwiastkiem z wartości ekstremów funkcji podpierwiastkowej.

Awatar użytkownika
nythrow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 16 lut 2012, o 12:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: /dev/null
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

ekstrema funkcji

Post autor: nythrow » 16 lut 2012, o 19:11

\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\sqrt[3]{\left(x^{2}-4\right)^{2}} \mathbb{D}:x\in\mathbb{R}}\)

Funkcja ma ekstremum tam, gdzie funkcja podpierwiastkowa ma estremum.

\(\displaystyle{ g\left(x\right)=\left(x^{2}-4\right)^{2} g'\left(x\right)=4x\left(x^{2}-4\right) \mathbb{D}':x\in\mathbb{R} g'(x)=0\Leftrightarrow4x\left(x^{2}-4\right)=0 x=0\vee x=2\vee x=-2}\)


Z wykresu zmiany znaku pierwszej pochodnej możemy odczytać, że:

\(\displaystyle{ x=0}\) - maksimum.

\(\displaystyle{ x=2;x=-2}\) - minimum.


//Rozwiązanie poprawione.
Ostatnio zmieniony 16 lut 2012, o 22:40 przez nythrow, łącznie zmieniany 1 raz.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

ekstrema funkcji

Post autor: piasek101 » 16 lut 2012, o 20:12

Ale w dwa i minus dwa pochodna nie istnieje.

Awatar użytkownika
nythrow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 16 lut 2012, o 12:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: /dev/null
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

ekstrema funkcji

Post autor: nythrow » 16 lut 2012, o 21:56

Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).
Nie mam więcej pytań.
Ostatnio zmieniony 16 lut 2012, o 21:58 przez nythrow, łącznie zmieniany 1 raz.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

ekstrema funkcji

Post autor: piasek101 » 16 lut 2012, o 21:57

Do czego to ?

ODPOWIEDZ