Matematyka.pl

1. Dla jakich wartości parametru a wielomian: \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\) jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego?

2. Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu W(x) jeżeli:
\(\displaystyle{ (x^{3}-x+1)^{2000} + (x^{2}+x-1)^{2001}}\)


Poproszę o DOKŁADNE omówienia tych zadań bo jutro mam z tego klasówkę!!!

ad. 2
podstaw \(\displaystyle{ x=1}\)

1. \(\displaystyle{ (x^2+bx+c)^2=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\)
Lewą podnosisz do kwadratu i potem porównujesz współczynniki z wielomianem obok.

Kamil a nie:
\(\displaystyle{ (bx^{2}+cx+d)}\) czemu tam przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest 1?

aalmond: tam można obojętnie co wstawić i wynik będzie 2?

tam można obojętnie co wstawić

Co masz na myśli, mówiąc: 'obojętnie co'?

Disnejx86 pisze: czemu tam przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest 1?

Dlatego, że \(\displaystyle{ x^2}\) nie ma nic wspólnego z parametrem \(\displaystyle{ a}\). A w \(\displaystyle{ W(x)}\) masz współczynnik przy najwyższej potędze równy \(\displaystyle{ 1}\) (\(\displaystyle{ x^2 \cdot x^2 = x^4}\)), wiec po wymnożeniu wszystko się zgadza.

Kazdy wielomian mozna przedstawic w postaci

\(\displaystyle{ a_{0}+\sum_{k=1}^{n}{a_{k}x^{k}} \ k \in \mathbb{N}\\}\)

wstawiajac jedynke za \(\displaystyle{ x}\) otrzymujesz jedynki przy wspolczynnikach
Tak ale wstawiajac obojetnie co nie otrzymasz tego co jest trescia zadania

aalmond, Czemu akurat 1? Co nam da że 1 wstawimy i czemu nie mozna innej liczby? Odp 2 jest dobra.

Zobacz np wielomian taki:
\(\displaystyle{ W(x) = 3x^2 + 4x - 2}\).

Gdy postawisz \(\displaystyle{ x = 1}\), wtedy masz same współczynniki (bo \(\displaystyle{ 3\cdot1 = 3}\)) które po zsumowaniu dadzą ci odpowiedz. Gdybyś wstał \(\displaystyle{ x = 2}\), to chyba sam widzisz, co by się stało.

W twoim zadaniu jest podobnie. gdy podstawisz \(\displaystyle{ x = 1}\), to suma współczynników w obu wielomianach jest równa \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ 1}\) podniesione do jakiejkolwiek potęgi nadal daje \(\displaystyle{ 1}\). Dlatego odpowiedz do zadania to \(\displaystyle{ 1 + 1 = 2}\)

Dzięki, to jest porządne wytłumaczenie Ciach!