Matematyka.pl

Witam! Moze mi ktos wytlumaczyc jak sie liczy tego typu calki?

a)\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ \infty } \frac{dx}{ ( x^{2}+1 )^{2} }}\)

b) \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ 0 } \frac{dx}{ ( x^{2}+144 )^{2} }}\)

c) \(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ 0 } \frac{cos( \frac{x}{9})dx }{ x^{2}-2x+82 }}\)

Zawsze tak samo. Jak nie mamy funkcji trygonoemtrycznych to nasza całka to będzie pewna suma residuów. Jakich?

nie mam pojecia...

Pomyśl. Wprowadź zmienną \(\displaystyle{ R}\)...opisane jest to na forum

jaka jest roznica jak granice calkowania sa: od \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0}}\) , a \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }}\)

inaczej sie je liczy?

Zależy od funkcji podcałkowej. Ale wychodzi na to samo

mam dana taka calke : \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0} \frac{dx}{( x^{2} + \frac{1}{4})^{2} }}\)

mam: \(\displaystyle{ ( z^{2} + \frac{1}{4})^{2} = ( z + \frac{1}{2}i)^{2}+ ( z - \frac{1}{2}i)^{2}}\)

zatem punktem osobliwym funkcji jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}i}\)

po podstawieniu do wzoru res wyjdzie:

\(\displaystyle{ \lim_{z\to\ \frac{1}{2}i } \frac{1}{ (z+ \frac{1}{2}i ^){2} }}\)

???

W a) i b) nie trzeba teorii residuów. To jest całka z funkcji wymiernej - dla każdej funkcji wymiernej da się znaleźć jej całkę nieoznaczoną, a więc tym bardzie oznaczoną. Akurat w tym wypadku residua dadzą wynik trochę szybciej, ale jak ktoś ich nie zna też można sobie poradzić.

Druga sprawa: nie rozumiem uwagi "jak nie mamy funkcji trygonometrycznych to nasza całka to będzie pewna suma residuów". A gdyby były funkcje trygonometryczne, to całka nie byłaby już sumą residuów? Niezależnie od tego czy "są sinusy" (cokolwiek to znaczy) całka z funkcji holomorficznej po krzywej jest zawsze równa sumie residuów pomnożonej przez \(\displaystyle{ 2 \pi}\).