Matematyka.pl

Czy z wektorów [1, 1, 1, 1], [1, -1, 0, 0], [3, -1, 1, 1], [-2, 4, 1, 1] da się wybrać bazę przestrzeni rozwiązań równań x+y-z-t=0? Odpowiedź uzasadnić

Czy ktos moze rozwiazac? Mile widzane wyjasnienie jak to policzyc.

Wyznaczmy baze przestrzeni:
\(\displaystyle{ x+y-z-t=0}\)
Podstawmy sobie odpowiednio za \(\displaystyle{ y,z,t}\) parametry \(\displaystyle{ p,q,r}\) takie, ze \(\displaystyle{ p,q,r\in R}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x+p-q-r=0\Rightarrow x=-p+q+r}\)
Stad,rozwiazaniem naszego rownania jest nastepujaca czworka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-p+q+r\\y=p\\x=q\\t=r\end{cases}}\)
Ponadto, kazdy wektor o skladowych \(\displaystyle{ (-p+q+r,p,q,r)}\) bedzie rozwiazaniem tego rownania. Nasz wektor mozna zapisac w postaci liniowej kombinacji:
\(\displaystyle{ (-p+q+r,p,q,r)=(-p,p,0,0)+(q,0,q,0)+(r,0,0,r)=p(-1,1,0,0)+q(1,0,1,0)+r(1,0,0,1)}\)
Powstale wektory \(\displaystyle{ (-1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1)}\) sa liniowo niezalezne zatem tworza baze przestrzeni.

Czy mozesz zrobic te zadanie do konca?

Czy z wektorow ..... mozna wybrac baze przestrzeni. Odpowiedz brzmi: tak.
Poniewaz:
\(\displaystyle{ (1,1,1,1)=(-1,1,0,0)+(1,0,1,0)+(1,0,0,1)\\(1,-1,0,0)=(-1)\cdot (-1,1,0,0)\\(3,-1,1,1)=(-1)\cdot(-1,1,0,0)+(1,0,1,0)+(1,0,0,1)}\)