Matematyka.pl

\(\displaystyle{ (1)-(3)}\) daje nam \(\displaystyle{ a^3-c^3+a-c+b-d=0}\), \(\displaystyle{ (2)-(4)}\): \(\displaystyle{ b^3-d^3+c-a+b-d=0}\) sumując: \(\displaystyle{ (a-c)((a+\frac{1}{2}c)^2+\frac{3}{4}c^2)+(b-d)((b+\frac{1}{2}d)^2+\frac{3}{4}d^2+2)=0}\), zauważamy, że to co jest w drugich nawiasach jest nieujemne. Zakładamy, że \(\displaystyle{ b>d}\), więc ze względu na to, ze u góry mamy \(\displaystyle{ 0}\), pierwszy czynnik sumy musi być ujemny, stąd \(\displaystyle{ c>a}\); \(\displaystyle{ (2)+(3)}\): \(\displaystyle{ b^3+c^3=a-c<0}\), \(\displaystyle{ (3)+(4)}\): \(\displaystyle{ c^3+d^3=b-d>0}\), stąd \(\displaystyle{ c^3+d^3>c^3+b^3 \iff d^3>b^3}\), sprzeczność z \(\displaystyle{ b>d}\). Analogicznie sypie się przypadek \(\displaystyle{ d>b}\) i \(\displaystyle{ a>c}\), stąd musimy mieć \(\displaystyle{ b=d}\) i \(\displaystyle{ a=c}\), wrzucając do układu po zsumowaniu pierwszych dwóch równań dostajemy \(\displaystyle{ a=-b}\), stąd już łatwo \(\displaystyle{ (a,b,c,d)\in\{(0,0,0,0),(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2},\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2})\}}\).

Fakt 1. Zbiorem punktów których długości rzutów na \(\displaystyle{ ABD}\), \(\displaystyle{ BCD}\), \(\displaystyle{ ACD}\) są równe jest prosta \(\displaystyle{ DI}\), chyba oczywiste jak nie to łatwo dowodzimy z jednokładności. \(\displaystyle{ I}\)-środek sfery wpisanej, \(\displaystyle{ S}\)-środek ciężkości \(\displaystyle{ ABCD}\), \(\displaystyle{ P}\)-środek ciężkości \(\displaystyle{ ABC}\).
Zacznę od równych pól:
Najpierw szybko dowodzimy, że \(\displaystyle{ [APB]=[APC]=[BCP]=\frac{1}{3}[ABC]}\), stąd \(\displaystyle{ V(ABDP)=V(BCDP)=V(ACDP)}\) (wspólna wysokość i równe pole podstawy), taką samą argumentacją dostajemy \(\displaystyle{ V(ABSP)=V(BCSP)=V(CASP)}\), z tych wniosków \(\displaystyle{ V(ABDS)=V(BCDS)=V(CADS)}\), ale ze względu na równe pola musimy mieć równe wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ S}\), z faktu 1., dostajemy współliniowość \(\displaystyle{ D,I,S}\).
Ze współliniowości:
Jak ostatnio \(\displaystyle{ V(ABDS)=V(BCDS)=V(CADS)}\), z faktu 1. i współliniowości mamy równe długości wysokości opuszczonych z \(\displaystyle{ S}\), stąd i z równości objętości mamy równość pól trójkątów na które rzutujemy.

Nie będąc przekonanym w prawdziwość swojego rozwiązania nie spisałem, no i fail życia, poprawne rozwiązanie zostało w brudnopisie :X. Ale generalnie tak skrótowo: dowód nie wprost, wybieramy dla każdej liczby spośród tych \(\displaystyle{ m+1}\) liczbę pierwszą niedzielącą pozostałego iloczynu, będzie ich \(\displaystyle{ m+1}\) każda różna, a mamy tylko \(\displaystyle{ m}\) pierwszych sprzeczność :F.

zadania dużo mocniejsze od zeszłorocznych, ale jest tez sporo osób z 2-3 zadaniami, zobaczymy co będzie jutro

W zbiorze \(\displaystyle{ m+1}\) liczb istnieją takie, w których \(\displaystyle{ p_1}\) występuje w maksymalnej potędze. Jedną z nich wybieramy i "wyrzucamy do iloczynu".
Następnie z pozostałych m liczb wyrzucamy taką, która ma maksymalny wykładnik \(\displaystyle{ p_2}\).
I tak dalej..
Pozostanie nam jedna liczba, której każdy dzielnik pierwszy występuje w którejś z pozostałych z przynajmniej tym samym wykładnikiem.
Wobec tego ta liczba, która pozostała musi dzielić iloczyn pozostałych.