Grupa permutacji
: 12 lut 2012, o 12:53
Mam rozwiązać zadanie następującej treści:
Wykaż, że każdą permutację parzystą w grupie \(\displaystyle{ S_{n}}\) można przestawić jako iloczyn cykli o długości 3.
Mam pomysł na ten dowód tylko nie jestem pewny czy jest dobry.
Weźmy dowolną permutację i zapiszmy ją w postaci iloczynu transpozycji:
\(\displaystyle{ (i_{1},i_{2},i_{3},...,i_{k})=(i_{k},i_{k-1})(i_{k},i_{k-2})...(i_{k},i_{2})(i_{k},i_{1})}\)
Permutacja jest parzysta więc mamy parzystą liczbę transpozycji. Każdą parę możemy zapisać w taki sposób:
\(\displaystyle{ (i_{k},i_{2})(i_{k},i_{1})=(i_{1},i_{2},i_{k})}\)
...
\(\displaystyle{ (i_{k},i_{k-1})(i_{k},i_{k-2})=(i_{k-2},i_{k-1},i_{k})}\)
Teraz podstawiając to otrzymujemy iloczyn cykli o długości 3.
Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Z góry dzięki za podpowiedź.
Wykaż, że każdą permutację parzystą w grupie \(\displaystyle{ S_{n}}\) można przestawić jako iloczyn cykli o długości 3.
Mam pomysł na ten dowód tylko nie jestem pewny czy jest dobry.
Weźmy dowolną permutację i zapiszmy ją w postaci iloczynu transpozycji:
\(\displaystyle{ (i_{1},i_{2},i_{3},...,i_{k})=(i_{k},i_{k-1})(i_{k},i_{k-2})...(i_{k},i_{2})(i_{k},i_{1})}\)
Permutacja jest parzysta więc mamy parzystą liczbę transpozycji. Każdą parę możemy zapisać w taki sposób:
\(\displaystyle{ (i_{k},i_{2})(i_{k},i_{1})=(i_{1},i_{2},i_{k})}\)
...
\(\displaystyle{ (i_{k},i_{k-1})(i_{k},i_{k-2})=(i_{k-2},i_{k-1},i_{k})}\)
Teraz podstawiając to otrzymujemy iloczyn cykli o długości 3.
Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Z góry dzięki za podpowiedź.