Równanie 2 prostych stycznych do okręgu.

[Perfekcjonista]

Mam problem z wyznaczeniem równania na 2 proste styczne do okręgu, którego znam promień i środek okręgu,przechodzącymi przez środek układu współrzędnych.

[tracer69]

Napisz dokładnie treść zadania, bo nie wiadomo dokładnie o co chodzi

[Perfekcjonista]

Masz dany środek okręgu i jego promień.Znajdź funkcje prostych, które przechodzą przez punkt(0;0) i są styczne do okręgu.

Z racji tego, że proste mają przechodzić przez środek układu wnioskuję, iż wzór funkcji będzie w stylu y=ax.

[Tmkk]

proste mają wzór: \(\displaystyle{ y - ax = 0}\), odległość miedzy prostą, a środkiem okręgu ma być równa \(\displaystyle{ r}\). Jedyna niewiadoma to \(\displaystyle{ a}\), więc nie problem wyznaczyć.

[Perfekcjonista]

Wystarczy tylko zamiast '0' podstawić r i wyciągnąć ze wzoru a ?
A co jeśli y jest większy od promienia?

[Tmkk]

Nie.

Wiesz jak się liczy odległość punktu od prostej?

[Perfekcjonista]

Szczerze to nie wiem .

[Tmkk]

odległość punktu \(\displaystyle{ S}\) od prostej \(\displaystyle{ k}\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ d(S,k) = \frac{\left| Ax_p + By_o + C \right| }{\sqrt{A^2 + B^2}}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) to współczynniki prostej o równaniu ogólnym (\(\displaystyle{ Ax + By + C = 0}\)), a \(\displaystyle{ x_p}\) i \(\displaystyle{ y_p}\) to współrzędne punktu.

[Perfekcjonista]

Siedzę nad tym zadaniem przeszło kilka godzin i już mózg pomału mi się wyłącza. Wyjaśnisz jak y-ax=0
ma się to wzoru na odległość punktu od prostej ?

[Tmkk]

Zakładam, że wzór rozumiesz, więc tłumaczę dalej.

Masz prostą o równaniu \(\displaystyle{ y = ax}\), środek okręgu \(\displaystyle{ S(o,p)}\) i promień \(\displaystyle{ r}\). Przekształcasz sobie prostą na wzór ogólny i masz \(\displaystyle{ ax - y = 0}\)

Teraz w przypadku wzoru.
\(\displaystyle{ A}\) jest wspólczynnikiem stojącym przy \(\displaystyle{ x}\), wiec \(\displaystyle{ A = a}\)
\(\displaystyle{ B}\) jest wspólczynnikiem stojącym przy \(\displaystyle{ y}\), wiec \(\displaystyle{ B = -1}\)
\(\displaystyle{ C}\) jest wyrazem wolnym, wiec w tym przypadku \(\displaystyle{ C = 0}\)

\(\displaystyle{ x_p = o\\
y_p = p}\)

Prosta ma być styczna do okręgu, więc odległość miedzy prostą a środkiem okręgu ma być równa r. Czyli \(\displaystyle{ d = r}\). Podstawiasz i liczysz.

[Perfekcjonista]

Czyli wystarczy stworzyć układ równań gdzie jednym równaniem będzie wzór ogólny funkcji a drugim wzór na odległość od punktu przyrównany do promienia ?

[Tmkk]

Wystarczy jedno równanie, gdzie masz odległość prostej od punktu przyrównaną do promienia. Z tego policzysz \(\displaystyle{ a}\), które potem podstawisz pod wzór prostej (\(\displaystyle{ y = ax}\) w tym przypadku) i tyle.
Jeżeli coś ci nie wychodzi, to pokaż jak liczysz, sprawdzę.

[Perfekcjonista]

Dzięki Ci wielkie, już wszystko załapałem co i jak.Mam jednak ostatnie pytanie. Co trzeba zrobić, aby wyliczyć drugą prostą na tych samych danych?(wyliczyłem tą na górze ale potrzebuje obu prostych)

[Tmkk]

Zależy gdzie położony jest okrąg.

Jeżeli punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) leży wewnątrz okręgu, to nie będzie żadnych stycznych przechodzących przez ten punkt. Jeżeli "dotyka" punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) to będzie jedna prosta. W innym wypadku będą dwie.
A skąd mają wziąć drugą? Przy wyznaczaniu \(\displaystyle{ a}\) z tego wzoru powinieneś mieć równanie kwadratowe i wyjdzie odpowiednia ilość rozwiązań.

Edit. Jednak czasami może zdarzyć się tak, że okrąg jest styczny do jednej z osi. Wtedy jedna (lub nawet dwie) z naszych prostych ma równanie \(\displaystyle{ y = C}\) lub \(\displaystyle{ x = C}\), (w przypadku tego zadania będzie to \(\displaystyle{ y = 0}\) lub \(\displaystyle{ x = 0}\)). Takie rzeczy dobrze widać na rysunku.

[Perfekcjonista]

Załóżmy,że mam pewność, iż okrąg nie zawiera ani nie dotyka punktu (0;0); i wiem, że mieści się w jednej ćwiartce.W takim wypadku jak policzyć wartość a dla dolnej stycznej?