Matematyka.pl

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma standardowy rozkład normalny. Obliczyć \(\displaystyle{ Ee ^{2x}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ Ee ^{2x}= \int_{R}^{}e ^{2x} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi }}e ^{ \frac{ -x^{2} }{2} }= \int_{R}^{} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e ^{ \frac{ -(x-2)^{2}+4 }{2}} = e^{2} \int_{R}^{} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } }e ^{ \frac{-(x-2) ^{2} }{2} } = e^{2}*1=e^{2}}\)

Czy to jest dobrze?

Swietnie. Tylko na egzaminie powinieneś umotywować czemu ta ostatnia całka wynosi 1. Ja wiem czemu, to nie dla mnie, ale by egzaminator wiedział, że wiesz

Czekaj, coś jeszcze z odchyleniem standardowym nie tak. Ostatnia całko może nie być 1. Zanalizuj rozkład \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\) z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ m}\) (tu dwójka, OK) i odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma.}\) Napisz dokładnie jego funkcję gęstości.

OK. Mamy tu \(\displaystyle{ \sigma=1.}\) Ale zrób to, o co prosiłem linię wyżej.

Co znaczy \(\displaystyle{ Ee ^{2x}}\) ? Nie powinno być \(\displaystyle{ Ee ^{2X}}\)?

Tak, powinno.

to wystarczy napisać, że to w całce to rozkład normalny (2,1)?

Dokładnie o to chodzi. Dobrze rozwiązałeś. Na moment mnie ta \(\displaystyle{ \sigma}\) zatrwożyła.

dzięki za pomoc!