Matematyka.pl

Witam,

tym razem mam zagłostkę z następującym tematem:

Wyznacz macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\), gdy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest:


\(\displaystyle{ A= \ \left[\begin{array}{ccc}1&4&-4\\0&1&-1\\-1&1&0\end{array}\right]}\)


Sprawdzałam wyniki z internetowymi kalkulatorami ale w każdym też wychodzi inaczej

Poniżej zamieszczam mój sposób rozwiązania i prosiła bym o ewentualną korektę
(pomijam wyznaczania detA)


\(\displaystyle{ detA=1 \ \ \ A ^{-1}=\frac{1}{detA}\left| A ^{D} \right| ^{T}}\)

\(\displaystyle{ a _{11}=(-1) ^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right|=1*0-(-1)*1=1}\)

\(\displaystyle{ a _{12}=(-1) ^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right|=0*0-(-1)*(-1)=-1}\)

\(\displaystyle{ a _{13}=(-1) ^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right|=0*1-1*(-1)=1}\)

\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)

\(\displaystyle{ a _{22}=(-1) ^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\-1&0\end{array}\right|=1*0-(-4)*(-1)=-4}\)

\(\displaystyle{ a _{23}=(-1) ^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\-1&1\end{array}\right|=1*1-4*(-1)=5}\)

\(\displaystyle{ a _{31}=(-1) ^{3+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&-1\end{array}\right|=4*(-1)-(-4)*1=0}\)

\(\displaystyle{ a _{32}=(-1) ^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\0&-1\end{array}\right|=1*(-1)-(-4)*0=-1}\)

\(\displaystyle{ a _{33}=(-1) ^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\0&1\end{array}\right|=1*1-4*0=1}\)

\(\displaystyle{ A ^{-1}=(\frac{1}{1}) \ 1\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\4&-4&5\\0&-1&1\end{array}\right| ^{T} \ = 1\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ A ^{-1}=\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right| \leftarrow Wynik}\)

Np. \(\displaystyle{ a_{12}=1.}\) O \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\) pamiętaj. Dalej nie sprawdzam. Skontroluj wszystkie dopełnienia algebraiczne.

Wydaje mi się że mam dobrze lub co mam nadzieje się nie potwierdzi dalej nie rozumiem

Więc źle Ci się wydaje odnośnie tego, co napisałem. Ty masz źle, ja mam dobrze Sprawdziłem raz jeszcze. Wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Ale jeszcze masz coś przed nim: \(\displaystyle{ (-1)^{2+1}\cdot(-1)=1.}\)

To znaczy że przy każdym wyniku zmieni mi się znak ?

Nie przy każdym wyznaczniku: tylko tam, gdzie wykładnik jest nieparzysty. Wygląda na to, że tego w ogóle nie uwzględniłaś. Dobrej nocy.

Noc z matematyką owszem że dobra

Zrobiłam jak potrafiłam, jak to zadanie powinno wyglądać ?

Byloby ok tylko nie uwzglednilas tych zmian znakow, napisalas je. Spojrzmy np. na to:

\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)

Powinno byc:

\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|= (-1) ^{2+1} (4 \cdot 0-(-4)\cdot1)= -1 (4\cdot0-(-4)\cdot1) = -4}\)

Analogicznie pozostałe elementy

Analogicznie nieparzyste wykładniki tj nadmienił szw1710.

\(\displaystyle{ a _{12} (-1) ^{1+2}(0 \cdot 0-(-1) \cdot (-1)=(-1) \cdot (-1)=1}\)

\(\displaystyle{ a _{21} (-1) ^{2+1}(4 \cdot 0-(-4) \cdot 1=(-1) \cdot 4=-4}\)

\(\displaystyle{ a _{23} (-1) ^{2+3}(1 \cdot 1-4 \cdot (-1)=(-1) \cdot 5=-5}\)

\(\displaystyle{ a _{32} (-1) ^{3+2}(1 \cdot (-1)-(-4) \cdot 0=(-1) \cdot (-1)=1}\)


Teraz się zgadza ?

Teraz tak

Czy mógłby mi ktoś napisać, co to oznacza: \(\displaystyle{ |A^D|}\)? (zwłaszcza to \(\displaystyle{ D}\) Do tej pory wyznaczałem macierz odwrotną metodą eliminacji Gauss'a, pierwszy raz się spotykam z tym sposobem.

Jest to macierz dopełnień algebraicznych