Matematyka.pl

Korzystając z pojęcia różniczki funkcji 2 zmiennych znaleźć wartość przybliżoną wyrażenia: \(\displaystyle{ (1,02)^{2,99} + (0,98)^{2,02}}\)

Nie wiem jak sie za to zabrać, proszę o podpowiedź, wskazówkę... cokolwiek! : )

Wykorzystujemy wzór przybliżony
\(\displaystyle{ f(x_{0}+ \triangle x, y_{0}+ \triangle y) \approx f(x_{0},y_{0})+ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_{0},y_{0}) \triangle x+ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_{0},y_{0}) \triangle y}\)

dla \(\displaystyle{ (1,02)^{2,99}}\) mamy

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{y}}\)
\(\displaystyle{ (x_{0},y_{0})=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ \triangle x=0,02}\)
\(\displaystyle{ \triangle y=-0,01}\)

Stąd \(\displaystyle{ f(1,3)=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}=yx^{y-1}, \frac{ \partial f}{ \partial x}(1,3)=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} =x^{y}lnx, \frac{ \partial f}{ \partial y}(1,3)=0}\)

Zatem \(\displaystyle{ (1,02)^{2,99} \approx 1+3*0,02+0*(-0,01) \approx 1,06}\)

\(\displaystyle{ (0,98)^{2,02}}\) liczy się podobnie a potem wystarczy zsumować

AsiaPipitrasia pisze:Korzystając z pojęcia różniczki funkcji 2 zmiennych znaleźć wartość przybliżoną wyrażenia: \(\displaystyle{ (1,02)^{2,99} + (0,98)^{2,02}}\)

Nie wiem jak sie za to zabrać, proszę o podpowiedź, wskazówkę... cokolwiek! : )

Po pierwsze rozłóż sobie całość na dwie części.
\(\displaystyle{ (1,02)^{2,99}}\) i \(\displaystyle{ (0,98)^{2,02}}\)

następnie napisz sobie funkcję \(\displaystyle{ z=x ^{y}}\)

następnie wybierasz sobie takie okrągłe punkty \(\displaystyle{ x _{0} i y_{0}}\). Różniczę przy \(\displaystyle{ x _{0}}\) traktujesz jako dx. różnicę przy y jako dy. W pierwszym przpadku za x bierzesz 1 za y 3. I odpowiednio \(\displaystyle{ dx=0,02 dy=-0,01}\) Teraz wystarczy tylko skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ z(x _{0}+dx,y _{0}+dy)=z(x _{0},y _{0})+dz(x _{0},y _{0}}\)

Dziękuje!
Faktycznie takie proste... nie wpadłam jednak na to, żeby to rozbić na dwa 'przypadki' a później zsumować...

\(\displaystyle{ f(x_{0}+ \triangle x, y_{0}+ \triangle y) \approx f(x_{0},y_{0})+ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_{0},y_{0}) \triangle x+ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_{0},y_{0}) \triangle y}\)

Jeszcze jedno pytanie, co do tego wzoru, nie wiem dlaczego ale w swojej książce mój wzór wygląda tak:

\(\displaystyle{ df(x_{0},y_{0}) ({ \triangle x},{ \triangle y} ) = \frac{ \partial f}{ \partial x}(x_{0},y_{0}) \triangle x+ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x_{0},y_{0}) \triangle y}\)

I licząc wym wzorem wychodzi mi:

\(\displaystyle{ (1,02)^{2,99} \approx 3*0,02+0*(-0,01) \approx 0,06}\)

Chyba, że coś źle interpretuje / rozumiem, w tym wzorze i źle podstawiam?

-----------------
Dla sprawdzenia wynik 2giej różniczki: \(\displaystyle{ \approx 0,96}\)
Zsumowanie całości: \(\displaystyle{ \approx 2,02}\)

correct?