Matematyka.pl

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić jak rozwiązuje się tego typu zagadnienia początkowe? Miałem to na ćwiczeniach ale niewiele rozumiem z notatek.

\(\displaystyle{ u_{x} + \frac{1}{2}u_{y}=u^{2}}\)
\(\displaystyle{ u(x,x)=\frac{1}{x}}\)

Policzmy pochodną funkcji \(\displaystyle{ u}\) wzdłuż pewnej krzywej danej równaniami \(\displaystyle{ x=x(t),\ y=y(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dt}=u_x\frac{dx}{dt}+u_y\frac{dy}{dt}}\)
porównując to z \(\displaystyle{ u^{2}=u_{x} + \frac{1}{2}u_{y}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{dx}{dt}=1\\\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\\\frac{du}{dt}=u^2\end{cases}\\
x=t+C_1\\
y=\frac{1}{2}t+C_2\\
\int\frac{du}{u^2}=\int 1\,dx\Rightarrow -\frac{1}{u}=t+C_3\Rightarrow u=-\frac{1}{t+C_3}}\)
Dostajemy zależności \(\displaystyle{ x=x(t,C_1),\ y=y(t,C_2),\ u=u(t,C_3)}\). Warunek \(\displaystyle{ u(x,x)=\frac{1}{x}}\) jest zadany na prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Parametry \(\displaystyle{ C_1,C_2,C_3}\) dobieramy więc tak, by zachodziło \(\displaystyle{ y(0,C_2)=x(0,C_1)}\) i \(\displaystyle{ u(0,C_3)=-\frac{1}{x(0,C_1)}}\), stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}C_1=C_2\\\frac{1}{C_3}=-\frac{1}{C_1}\end{cases}\Rightarrow C_1=C_2=-C_3=C\\
\begin{cases}x=t+C\\y=\frac{1}{2}t+C \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}t= 2x-2y\\C=2y-x\end{cases}\\
u(x,y)=-\frac{1}{t-C}=-\frac{1}{2x-2y-2y+x}=\frac{1}{4y-3x}}\)