Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość :

(1-4/1)(1-4/9)...(1-4/(2n-1)�)=(1+2n)/(1-2n)

Wskazówka :
Zapisz wyrażenie (2n+1) �-4 w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

Byłbym wdzięczny za rozwiązanie tego zadania i szczegółowe opisanie każdego kroku.

Z góry dzięki, pozdrawiam...

P.S.
I sorki jeżeli umieściłem to w złym dziale, ale do żadnego mi to nie pasowało...

Rozwiązanie indukcyjne.

Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ k\in N}\)

Z:\(\displaystyle{ \large (1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2k-1)^2})=\frac{1+2k}{1-2k}}\)

T: \(\displaystyle{ \large (1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2k-1)^2})(1-\frac{4}{(2k+1)^2})=\frac{2k+3}{-1-2k}}\)

D:\(\displaystyle{ \large L=\frac{2k+1}{1-2k}(1-\frac{4}{(2k+1)^2})=\frac{2k+1}{1-2k}\frac{(2k+1)^2-4}{(2k+1)^2}=\frac{2k+1}{1-2k}\frac{(2k-1)(2k+3)}{(2k+1)^2}=\frac{-(2k+3)}{(2k+1)}=\frac{2k+3}{-1-2k}=P}\)

C.N.D.

Ok, dzięki. Już wiem, gdzie popełniłem błąd...

Zgodnie z opisem przeniosłem do Liczb rzeczywistych i zespolonych.

Hej a w dowodzie gdzie się podziała ta -4 i skąd się wzięło ?:
(2k-1)(2k+3)
Mógłbyś mi to rozpisać ?

\(\displaystyle{ (2k+1)^2-4=(2k+1)^2-2^2=(2k+1-2)(2k+1+2)=(2k-1)(2k+3)}\)

Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\).

Nie rozumie, nie widzę tutaj tego wzoru...
(2k+1)^2-2^2=(2k+1)(2k+1)-2^2= ???

oznacz za a=(2k+1), b=2

a^2-b^2=(a-b)(a+b) podstawiasz i masz ...

A jak dalej nie rozumiesz to napisz do mnie na gg ...