Matematyka.pl

Witam, mam pytanie, może banalne, ale jednak.

Dlaczego na wykresie \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) rysujemy tylko wartości dodatnie, skoro z def:

\(\displaystyle{ \sqrt{x} = b \Leftrightarrow b^{2} = x}\)

co oznacza, że

\(\displaystyle{ \sqrt{4} = 2 \Leftrightarrow 2^{2} = 4}\) oraz

\(\displaystyle{ \sqrt{4} = -2 \Leftrightarrow -2^{2} = 4}\)

Proszę o odpowiedź.

Zacznijmy od tego, że nie byłaby to już funkcja.

Twoja definicja jest niepełna. Skąd ją wziąłeś?

Pierwiastkiem stopnia n-tego z liczby nieujemnej(jeśli mówimy o zbiorze l. rzeczywistych) \(\displaystyle{ a}\) nazywamy taką liczbę nieujemną \(\displaystyle{ b}\), której n-ta potęga jest równa \(\displaystyle{ a}\).

Czyli : \(\displaystyle{ a \ge 0 \Rightarrow \left[ \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow \left( b \ge 0 \wedge b^{n}=a \right) \right]}\)

Coś mi sie z LO. kojarzyło. No ok a jak mam:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\)

to dla x < 0 to będzie : \(\displaystyle{ - \sqrt[3]{-x}}\)

Tzn nie rozumiem jednej rzeczy.

Skoro \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\) jest funkcją, i przyjmuje tylko liczby dodatnie to skąd się nagle bierze np:

\(\displaystyle{ f(-27) = \sqrt[3]{-27} = - \sqrt[3]{27} = -3}\)
\(\displaystyle{ f(-27) = -3}\)

Hmmm ?

wizard144 pisze:Coś mi sie z LO. kojarzyło. No ok a jak mam:


Tzn nie rozumiem jednej rzeczy.

Skoro \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\) jest funkcją, i przyjmuje tylko liczby dodatnie to skąd się nagle bierze np:

\(\displaystyle{ f(-27) = \sqrt[3]{-27} = - \sqrt[3]{27} = -3}\)
\(\displaystyle{ f(-27) = -3}\)

Hmmm ?

To wynika właśnie z tego co napisałeś, że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste i naturalne i \(\displaystyle{ a}\) jest ujemne, to :
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a}=- \sqrt[n]{-a}}\)

No ok, ale twoja unikalna definicja mówi o b nieujemnym. Więc chyba w takim wypadku w swojej definicji czegoś nie uwzględniłeś.

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) faktycznie nie mógłby być funkcją, bo z def. funkcji x->y . Ale mimo wszystko, każde równanie które rozwiązuje w zależności od stopnia ma taką liczbę rozwiązań.

wizard144, uwzględniłem, zauważ, że w mojej definicji (nie mojej, tylko ja ją zacytowałem,żeby nikt się nie czepiał) mówione było o nieujemnej liczbie \(\displaystyle{ a}\). A Twój przykład (np. -27) to nie jest nieujemna liczba. Więc, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest ujemne wtedy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-a}}\) jest nieujemny czyli \(\displaystyle{ -\sqrt[n]{-a}}\) jest ujemny. Jak coś nadal niejasne to pytaj

Zobacz tutaj: może to coś rozjaśni.
A co do wykresu, to jeśli chcemy mieć funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ y=x^2}\) musimy zawęzić dziedzinę (bo to nie jest funkcja różnowartościowa) i zawężamy ją do przedziału \(\displaystyle{ <0,+\infty)}\) a potem symetria względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).