Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a_{0}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}^{2}=2a_{n-1}^{2}+1}\) dla n>0
Wypisując kolejne wyrazy ciągu wpadłem na to, że wzór może wyglądać tak:
\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt{10 \cdot 2^{n-1}-1 }}\)
1. Czy jest jakaś metoda znajdywania wyrazu ogólnego poza "zgadywaniem"?
2. Jak udowodnić to indukcyjnie?

Ogólne metody rozwiązywania rekurencji możesz znaleźć w książce Matematyka konkretna. W tym wypadku na pewno warto zacząć od podstawienia \(\displaystyle{ b_n=a_n^2}\), a potem do wyboru: czynnik sumacyjny, metoda repertuaru, równanie charakterystyczne, funkcje tworzące albo nawet ręczne przekształcanie.

Jeśli już wynik został odgadnięty/obliczony, to dowód indukcyjny jest prosty.
Dla \(\displaystyle{ n=0}\) wzór się zgadza, pozostaje więc krok indukcyjny. Zakładasz, że \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{5\cdot 2^n -1}}\) i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{5\cdot 2^{n+1}-1}}\). Z rekurencji zaś wiemy, że:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \sqrt{2a_n^2+1}=\ldots}\)
i po wykorzystaniu założenia indukcyjnego powinno łatwo wyjść.

Q.