Matematyka.pl

Hej. Mam trochę problemów z zadaniami, w których muszę policzyć całkę krzywoliniową, gdzie krzywą jest okrąg. Dla przykładu z takim:

Wykazać, że całka :

\(\displaystyle{ \oint y \left(\tg \left(x\right)\right)^{2} \,\text{d}x + \left(\tg \left(x\right) -x\right) \,\text{d}y}\) nie zależy od drogi całkowania oraz podać jej wartość gdy krzywa K jest okręgiem:

\(\displaystyle{ \left(x-\pi\right)^{2} + \left(y-e\right)^{2} = 9}\)

Udowodnienie niezależności od drogi całkowania jest łatwe. Dalej parametryzuje okrąg:

\(\displaystyle{ x= \pi + 3\cos \left(\phi\right) \\
\\
y= e + 3\sin \left(\phi\right)}\)

Niestety dalej nie wiem co zrobić, kiedy podstawię pod wzór to wychodzi mi trudna całka:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\left((e + 3\sin(\phi)) (\tg(\pi + 3\cos(\phi))^{2} \left(-3\sin \left(\phi\right) \right) + \left( \tg \left(\pi + 3\cos \left(\phi\right)\right) - \left(\pi + 3\cos \left(\phi\right)\right) \right)\left(3\cos \left(\phi\right)\right) \right) \,\text{d}\phi }\)

Wydaję mi się, że gdyby użyć tw. Greena to liczenie byłoby łatwiejsze, ale nie wiem jak to zrobić. Z góry dziękuję za pomoc.

\(\displaystyle{ }\)

Parametryzację wykonano poprawnie. Odpowiedni wzór znajdziesz w podręczniku analizy matematycznej, lub po wpisaniu twierdzenie Greena w wyszukiwarce.

\(\displaystyle{ \oint P\left(x,y\right)\,\text{d}x + Q\left(x,y\right)\,\text{d}y = \iint \left( \frac{ \partial Q}{ \beta x} - \frac{ \partial P}{ \partial y} \right)\,\text{d}x \,\text{d}y}\)

Czyli podstawiając to ja mam:

\(\displaystyle{ \text{d}x=-3\sin \left(\phi\right) \,\text{d}\phi \\
\,\text{d}y=3\cos \left(\phi\right) \,\text{d}\phi}\)


Ale przecież \(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{ \partial P}{ \partial y} =0}\), więc

\(\displaystyle{ \iint 0 \,\text{d}x \,\text{d}y}\)

No i za bardzo nie wiem co mi to daje...

gobi12, oznacza to że rotacja pola wektorowego jest zerowa, więc całka podwójna wynosi 0. Wynika to od razu z niezależności wartości całki od drogi całkowania.