Matematyka.pl

Co to właściwie jest izomorfizm? Czy w takiej "potocznej" definicji, jest to monomorfizm+epimorfizm? Czy odwzorowanie jest które jest izomorfizmem musi być homomorfizmem? Co to znaczy że dwie grupy z pewnymi działaniami są izomorficzne, tzn że istnieje odwzorowanie z tej pierwszej grupy na drugą które jest homomorfizmem, epimorfizmem i monomorfizmem?

Nie rozumiem jeszcze pewnych dwóch zadań z tego forum dotyczących tego, tzn tu: https://www.matematyka.pl/105882.htm przy dowodzie że dwie grupy nie są izomorficzne korzystamy z jakiejś jeszcze zależności? bo tak to wygląda. Z jakiegoś twierdzenia?

W tym zadaniu: https://www.matematyka.pl/284089.htm natomiast nie rozumiem tego fragmentu :

Gdyby były izo, to z tego, że \(\displaystyle{ \phi(3)=[\phi(3)]^2-2\phi(3)}\) wynika, że \(\displaystyle{ \phi(3)=0 lub \phi(3)=3}\). Pierwsza opcja odpada, bo przeczy różnowartościowości, druga zresztą też, bo \(\displaystyle{ 3 \not\in 5 \mathbb{Z}}\).

Czy tutaj w tym: \(\displaystyle{ \phi(3)=0}\) chodzi o to, że dla działania dodawania w obu grupach dla 0 (elementu neutralnego w pierwszej grupie) odwzorowanie zwracałoby także 0 (element neutralny w drugiej grupie); czyli dlatego nie jest róznowartościowe? Poza tym nie rozumiem tego tutaj :\(\displaystyle{ \phi(3)=[\phi(3)]^2-2\phi(3)}\). Skąd to się wzięło?

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

\(\displaystyle{ \phi(3)=\phi(3^2-2 \cdot 3)}\) i z założenia o homomorfizmie \(\displaystyle{ =[\phi(3)]^2-2 \phi(3)}\)

Co to właściwie jest izomorfizm? Czy w takiej "potocznej" definicji, jest to monomorfizm+epimorfizm? Czy odwzorowanie jest które jest izomorfizmem musi być homomorfizmem?

Tak, izomorfizm to po prostu homomorfizm + bijekcja.

Co to znaczy że dwie grupy z pewnymi działaniami są izomorficzne, tzn że istnieje odwzorowanie z tej pierwszej grupy na drugą które jest homomorfizmem, epimorfizmem i monomorfizmem?

Tak, czyli istnieje izomorfizm.

Nie rozumiem jeszcze pewnych dwóch zadań z tego forum dotyczących tego, tzn tu: https://www.matematyka.pl/105882.htm przy dowodzie że dwie grupy nie są izomorficzne korzystamy z jakiejś jeszcze zależności? bo tak to wygląda. Z jakiegoś twierdzenia?

Grupy izomorficzne mają te same własności algebraiczne.

tometomek91 pisze:\(\displaystyle{ \phi(3)=\phi(3^2-2 \cdot 3)}\) i z założenia o homomorfizmie \(\displaystyle{ =[\phi(3)]^2-2 \phi(3)}\)

\(\displaystyle{ \phi(3^2-2 \cdot 3)=\phi(3^2+(-6))}\) - czemu \(\displaystyle{ \phi(-6)=-2\phi(3)}\)?

Natomiast w tym drugim zadaniu my mamy wziąć dowolne działania dla tych grup i pokazać że nie są one izomorficzne? Poza tym nie rozumiem skąd tu stwierdzenie:

Wskazówka - w każdym przypadku z (2)-(4) jednej z grup istnieje różny od elementu neutralnego element rzędu skończonego, a w drugiej nie ma takiego.

przecież np w punkcie 2, w zbiorach \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{*} i \mathbb{R}_{+}}\) weźmiemy sobie działanie mnożenia i znajdę np liczbę \(\displaystyle{ 3}\) która jest generatorem podgrupy generowanej o rzędzie skończonym zarówno w pierwszej grupie jak i w drugiej. Czy chodzi tu o to, że dla jakiegoś innego działania to nie zachodzi?

Cały czas do końca nie rozumiem tego zadania drugiego, np tego fragmentu:

Natomiast w (1) równanie nx = y dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ y\in \mathbb{Q}}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), ale równanie \(\displaystyle{ u^{n} = v}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ v\in \mathbb{Q}^{+}}\) może nie mieć rozwiązania w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^{+}}\).

. O czym to nam mówi? że dla danego działania \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^{+}}\) z tym działaniem nie jest grupą?

Byłbym wdzięczny za odpowiedź, bo nie mogłem tego znaleźć ani w notatkach ani na internecie.