Matematyka.pl

Oblicz jaka cześć półkuli jest wycięta przez stożek.

Kula: \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \le 3}\)
Stożek: \(\displaystyle{ x^2 + y^2 - 3z^2 = 0}\)

Czy poprawnym będzie robienie tego w ten sposób, że z kuli od razu widać, że jej promień to \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), więc objętość jej górnej półkuli to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{4 \sqrt{3} \pi }{2}}\).

Następnie liczę objętość tego stożka korzystając ze współrzędnych walcowych:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{ \sqrt{3} } \int_{0}^{ \frac{r}{ \sqrt{3} } } r dz dr d\phi}\)
Z tego mi wychodzi \(\displaystyle{ 2\pi}\)
Czyli stożek wyciął \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

Czy taki sposób rozwiązania jest poprawny?

Nie jest to dobry sposób liczenia. Najlepiej wprowadzić współrzędne sferyczne. Stożek wycina z kuli objętość równą:

\(\displaystyle{ V = \int_{0}^{2 \pi } \mbox{d} \varphi \int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} } \mbox{d} \theta \int_{0}^{ \sqrt{3} } r^2 \sin \theta \mbox{d}r}\)