Matematyka.pl

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{3} + x + 1}\)
a) uzasadnij żę wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków
b) uzasadnij że wielomian W(X) nie ma pierwiastkow wymiernych

pierwiastkow szukamy wsrod dzielnikow \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)

wiec:
+/- 1
+/- \(\displaystyle{ \frac {1}{2}}\)

w(1)=
w(-1)=
\(\displaystyle{ w(\frac {1}{2})=}\)
\(\displaystyle{ w(-\frac {1}{2})=}\)

i sprawdzamy

a) Gdyby \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+} \ni a}\) było pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to zachodziłaby równość \(\displaystyle{ W(a)=0}\). Jednak \(\displaystyle{ W(a)=2a^3+a+1>1}\), bo z założenia \(\displaystyle{ a>0}\), więc również \(\displaystyle{ 2a^3 >0}\). Oznacza to, że nasz wielomian nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W}\) posiada pierwiastki wymierne, to są one postaci: \(\displaystyle{ 1,-1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}\). Jednak łatwo sprawdzić, że żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), więc wielomian ten nie posiada żadnych pierwiastków wymiernych.