Matematyka.pl

Witam!Mam problem z takim zadaniem:Udowodnij że odcinek \(\displaystyle{ (0,1]\subset\mathbb R}\) ze zwykłą metryką jest spójny.

Trzeba udowodnić nie wprost, że ten odcinek nie jest niespójny. Załóż sobie, że jest niespójny a następnie skorzystaj z następującej własności liczb rzeczywistych: każdy niepusty ograniczony z dołu (góry) podzbiór prostej rzeczywistej posiada kres dolny (górny).

Niech (0,1]=\(\displaystyle{ A\cup B}\).A,B są domknięte,\(\displaystyle{ A\cap B =\emptyset}\).Niech \(\displaystyle{ 1\in A}\).Określimy c=sup{\(\displaystyle{ x\in B}\).Ponieważ B jest domknięty,to \(\displaystyle{ C\in B}\).Wtedy \(\displaystyle{ (c,1]\subset A}\).Ale A jest domknięty,to \(\displaystyle{ C\in A}\).Stąd \(\displaystyle{ C\in (A\cap B)=\emptyset}\).
Proszę o sprawdzenie poprawności zadania.

Pomysł jest dobry, ale w takiej wersji jak to napisałaś to ja osobiście bym się przyczepił. Zbiory A i B są domknięte w topologii podprzestrzeni czyli w obcięciu topologii euklidesowej do tego odcinka, a to wcale nie oznacza, że B jest zbiorem domkniętym w topologii euklidesowej - a na to się właśnie powołujesz. Z drugiej strony prawdą jest, że $\(\displaystyle{ c \in B}\) tylko trzeba to inaczej uzasadnić.