Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} - ln2x}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=2x - \frac{1}{2}x \quad \big/ \cdot 2}\)

\(\displaystyle{ 4x-x=0}\)

\(\displaystyle{ 3x=0}\)

\(\displaystyle{ x=0}\)

Nie wiem czy dobrze ...

Pochodna jest źle policzona.

to sory ale nie wiem jak inaczej , jesli mozesz to prosze o poprawe

\(\displaystyle{ f'(x) =2x-\frac{1}{2x}\cdot 2= 2x- \frac{1}{x}}\)

Teraz szukasz miejsc zerowych pierwszej pochodnej i przedziałów w których jest większa i mniejsza od zera. Czyli:
\(\displaystyle{ f'(x) =0 \Leftrightarrow x = ??\\
f'(x) > 0 \Leftrightarrow x\in ??\\
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ??}\)

Ponieważ w badanej funkcji pojawia się logarytm musisz pamiętać o uwzględnieniu dziedziny.
W zasadzie o uwzględnieniu dziedziny trzeba pamiętać zawsze.

Czy pod \(\displaystyle{ \ln}\) jest samo 2 czy 2x? Bo ma znaczenia czy chodzi o \(\displaystyle{ \ln{(2x)}}\) czy o \(\displaystyle{ (ln2) \cdot x}\)

Inkwizytor jest \(\displaystyle{ f(x)= x^{2} - ln2x}\)

nie wiem czy dobrze obliczyłem ale:
\(\displaystyle{ D:R/{0}

f'(x) =0 \Leftrightarrow x = 2x - \frac{1}{x} \Leftrightarrow 2 x^{2} -1 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{-2 \sqrt{2} }{4}
x_{2}= \frac{2 \sqrt{2} }{4} \Rightarrow ptk. stacjonarne}\)


\(\displaystyle{ f'(x)<0 \Leftrightarrow 2 x^{2} -1 < 0 \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ 2 x^{2} -1<0}\)

\(\displaystyle{ 2x ^{2} <1 // :2}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} < \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x< \sqrt{\frac{1}{2} }}\)

\(\displaystyle{ dla x \in ( \sqrt{ \frac{1}{2} } ; \infty )}\)funkcja rosnie

\(\displaystyle{ f'(x)<0 \Leftrightarrow 2 x^{2} -1 < 0 \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ 2 x^{2} -1>0}\)

\(\displaystyle{ 2x ^{2} >1 // :2}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} > \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x> \sqrt{\frac{1}{2} }}\)

\(\displaystyle{ dla x \in (- \infty ; \sqrt{ \frac{1}{2} )}\) funkcja maleje

Czy tak ?

Te nierówności źle rozwiązujesz (co jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=2x^2-1}\)?) i zapomniałeś o dziedzinie, Twoja funkcja nie istnieje dla ujemnych argumentów i równego zero (masz tam funkcję logarytmiczną).

czyli pewnie chodzi o ten wzór

\(\displaystyle{ \frac{f'(x)}{f(x)} \\
f'(x)=\left ln f(x)\right' \cdot f(x)}\)

ale mimo wszystko nei wiem jak to inaczej policzyc , prosze o pomoc .

\(\displaystyle{ D_{f(x)}=R^+\\
D_{f'(x)} = R \setminus {0}\\
\\
\begin{cases} f'(x) =0 \\ x\in(0,+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases} 2x^2-1 =0 \\ x\in(0,+\infty) \end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}x= \frac{\sqrt{2}}{2} \vee x= -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x\in(0,+\infty) \end{cases}
\Rightarrow \\ \text{ punkt stacjonarny: } x= \frac{\sqrt{2}}{2}\\
\begin{cases} f'(x) > 0 \\ x\in (0,+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases} 2x^2-1 >0 \\ x\in (0,+\infty) \end{cases}
\begin{cases} x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty) \\ x\in(0,+\infty) \end{cases} \Rightarrow \\
x\in (\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)\text{ w tym przedziale } f(x) \text{ jest rosnąca}}\)
I analogicznie dalej.