Matematyka.pl

Liczba \(\displaystyle{ 2 ^{1001} +3 ^{1001}+\ldots+1000 ^{1001}}\):
a) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 167}\)
b)jest liczbą pierwszą
c) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 1002}\)
d) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Może być kilka prawidłowych odpowiedzi.

Jeśli chodzi o punkt c) to jest to zła odpowiedź, ponieważ liczba

\(\displaystyle{ 2 ^{1001} +3 ^{1001}+\ldots+1000 ^{1001}}\)

jest liczbą nieparzystą, zatem nie jest podzielną przez \(\displaystyle{ 1002=501 \cdot 2}\).

Punkt d) i b)

Zauważmy, że wszystkie składniki postaci

\(\displaystyle{ \left( 3k\right) ^{1001} = 3 \cdot 3^{1000} \cdot k^{1001} gdzie \ k \in \left\{ 1,2, ... ,333\right\}}\)

są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
Wszystkie pozostałe składniki połączymy w pary postaci:

\(\displaystyle{ \left( 3k-1\right) ^{1001} + \left( 3k+1\right) ^{1001} gdzie \ k \in \left\{ 1,2, ... ,333\right\}}\)

Stosując wzór \(\displaystyle{ a^{2n-1} + b^{2n-1}}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left( 3k-1\right) ^{1001} + \left( 3k+1\right) ^{1001} = \left( 3k-1+3k+1\right) \left( ...\right) = 3 \cdot 2k\left( ...\right)}\)

Zatem każda para jest podzielna przez 3. Stąd wynika, iż również liczba \(\displaystyle{ 2 ^{1001} +3 ^{1001}+\ldots+1000 ^{1001}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) skąd od razu wnioskujemy, że jest liczbą złożoną.

a co z odp a?-- 6 lut 2012, o 17:10 --goobar, a co z podpunktem a ? on jest nieprawidłowa odp?