Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina
: 10 lut 2007, o 10:14
Rozwiń funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x^2}}\) w szereg MacLaurina z resztą R3.
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}\,=\,\big(1+x^2\big)^{1/2}\,=\,\sum\limits_{k=0}^{+\infty} {1/2 \choose k}x^{2k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ {\alpha \choose n}\,=\,(-1)^n\frac{(-\alpha)_n}{n!}\,=\, \frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n\cdot(n-1)\cdots1}}\)
a \(\displaystyle{ (a)_n}\) to symbol Pochhammera
Rozpisując do trzeciego wyrazu dostajemy więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x^2}\,=\,1+\frac12x^2+R_3}\)