Matematyka.pl

Mógłby ktoś mi wytłumaczyć jak robić tego typu zadania? Nie zdążyliśmy tego przerobić na ćwiczeniach, a znając moje szczęście właśnie to będzie na egzaminie.

Niech \(\displaystyle{ t}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3+x+3 = 0}\) i niech \(\displaystyle{ i}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2 + 1 = 0}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ t + i}\) jest liczbą algebraiczną.

wystarczy dać:

\(\displaystyle{ (x-i)^{3}+(x-i)+3=x^{3}-3x^{2}i-3x+i+x-i+3=x^{3}-2x+3-3x^{2}i}\)

teraz weź wielomian:

\(\displaystyle{ (x^{3}-2x+3-3x^{2}i )(x^{3}-2x+3+3x^{2}i )=(x^{3}-2x+3)^{2}- (3x^{2}i)^{2}=}\)

\(\displaystyle{ (x^{3}-2x+3)^{2}+9x^{4}}\)

no i już widać skrócić i wyrównać...

zbiór liczb algebraicznych jest ciałem, a z tego trywialnie wynika powyższe. Ale znając życie nie mieliście tego faktu na zajęciach (czyżbym się mylił)? Dlatego trzeba kombinować ze zrobieniem wielomianu, którego zerem jest \(\displaystyle{ i+t}\). Można podchodzić do tego np. tak:
Wiemy \(\displaystyle{ t^3=-t-3}\), \(\displaystyle{ i^2=-1}\)
niech \(\displaystyle{ z=t+i}\)
Używając tego oblicz: \(\displaystyle{ z^3=(t+i)^3}\) oraz \(\displaystyle{ z^2=(t+i)^2}\)

owszem była mowa o ciele i liczbach algebraicznych, ale należę do grupy osób które mało co rozumieją z suchych faktów i definicji, po prostu potrzebuję przykładu, żeby wiedzieć jak coś działa

pewnie zadam banalne pytanie ale co mam zrobić po wyliczeniu \(\displaystyle{ z^3}\) i \(\displaystyle{ z^2}\)?