Matematyka.pl

witam, mam problem z następującymi przykładami
\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 } \frac{sin\left( 2x-6\right) }{sin\left( x ^{2}-5x+6 \right) }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{e ^{x}-1 }{sin2x}}\)

Obie granice można rozwiązać z de l'hospitala natychmiastowo.

Jeżeli się nie miało jednak tego twierdzenia to można np skorzystać w drugim przykładzie z...

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{x} -1}{sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} -1}{sin2x} \cdot \frac{2x}{2x} = \lim_{ x \to 0} \frac{2x}{sin2x} (=1) \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{x}-1}{x} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 } \frac{sin\left( 2x-6\right) }{sin\left( x ^{2}-5x+6 \right) }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 } \frac{cos\left( 2x-6\right) * (2) }{cos\left( x ^{2}-5x+6 \right)*(2x +5) }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 } \frac{2cos\left( 0\right) }{cos\left( 0\right) }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 } \frac{ \pi }{\frac{\pi}{2} } = 2}\)

Skorzystałem z deHospitala i wyszło 2, wolfram mówi to samo. Więc wynik poprawny

Można też tak, według mnie prościej
\(\displaystyle{ \lim_{x \to3 } \frac{sin\left( 2x-6\right) }{sin\left( x ^{2}-5x+6 \right) }=\lim_{x \to3 } \frac{ \frac{sin\left( 2x-6\right)}{2x-6} \cdot 2x-6 }{ \frac{sin\left( x ^{2}-5x+6 \right)}{x ^{2}-5x+6} \cdot x ^{2}-5x+6}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 3 } \frac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)}=2}\)