Matematyka.pl

Czy jest jakis sposob, bez obliczania wartosci symbolu newtona, aby sprawdzic czy daje on liczbe parzysta czy nieparzysta?

Hm wydaje mi się że prostego sposobu nie ma by to stwierdzić. Dla dowolnych n i k nie ustali się tak łatwo parzystości \(\displaystyle{ {n\choose k}}\)
Można np analizować trójkąt pascala i rozkład liczb parzystych wśród nieparzystych czy np rysując trójkąt ale wpisując w miejsca liczb reszty z dzielenia przez 2 można coś zauważyć ciekawego odnośnie tego ale ja nic nie zauważyłem.
(Tak na marginesie usuwając z trójkąta pascala liczby parzyste otrzymamy trójkąt Sierpińskiego)

Mamy:
\(\displaystyle{ {n\choose k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}}\)

Niech:
\(\displaystyle{ n! = 2^{p}\cdot s,\\
k! = 2^{q}\cdot t,\\
(n - k)! = 2^{r} \cdot u}\)
Przy czym:
\(\displaystyle{ s, t, u \in \mathbb{N},\\
p, q, r \in \mathbb{N} \cup \{0\},\\
\tfrac{s}{2}, \tfrac{t}{2}, \tfrac{u}{2} \notin \mathbb{N}}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ p \geqslant q + r}\)

oraz:
\(\displaystyle{ p = \sum\limits_{h = 1}^{\lfloor\log_{2} n\rfloor} \left\lfloor\frac{n}{2^{h}}\right\rfloor\\
q = \sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\log_{2} k\rfloor} \left\lfloor\frac{k}{2^{i}}\right\rfloor\\
r = \sum\limits_{j = 1}^{\lfloor\log_{2} (n - k)\rfloor}\left\lfloor\frac{n-k}{2^{j}}\right\rfloor}\)

A zatem
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot {n\choose k} \in \mathbb{N} \iff p \neq q + r\\
\frac{1}{2}\cdot {n\choose k} \in \mathbb{N} \iff \sum\limits_{h = 1}^{\lfloor\log_{2} n\rfloor} \left\lfloor\frac{n}{2^{h}}\right\rfloor \neq \sum\limits_{i = 1}^{\lfloor\log_{2} k\rfloor} \left\lfloor\frac{k}{2^{i}}\right\rfloor + \sum\limits_{j = 1}^{\lfloor\log_{2} (n - k)\rfloor}\left\lfloor\frac{n-k}{2^{j}}\right\rfloor}\)

Takie dosyć brutalne, ale dla dużych \(\displaystyle{ n}\) zdecydownanie szybsze niż trójkąt Pascala