Matematyka.pl

Witam
Chciałem się dowiedzieć o co chodzi
Opisz moment bezwładności bryły nie przechodzącej przez środek masy bryły
O co w tym chodzi może mi ktoś wyjaśnić?


Czy moje pytanie jest związane jakoś z twierdzeniem steinera?

Chyba bryła ma się obracać wokół osi nie przechodzącej przez jej środek masy. Nieprawdaż?

tak i o co chodzi w tym zagadnieniu?

i jaka jest powiązanie miedzy momentem bezwładności a ruchem

A nie jest to zadanie takie:
Oblicz moment bezwładności bryły ( podanej rysunkiem, równaniem ) względem osi nie przechodzącej przez środek masy bryły?
Bryła nie musi się obracać by "miała" moment bezwładności względem osi, bieguna. Jest to pojęcie geometryczne.
\(\displaystyle{ I _{z} = \frac{m \cdot R ^{2} }{2}}\) , dla walca posiadającego masę \(\displaystyle{ m}\) i promień \(\displaystyle{ R}\) względem jago osi podłużnej .
W.Kr.

No bo różne bryły mają różne momenty bezwładności. To zależy od rozkładu masy w bryle. A nawet gdy bryła jest jednorodna, to wchodzi w grę położenie osi wobec środka masy. Tak więc chyba nie da się znaleźć jednego wzoru jak np. reguła Guldina na objętość bryły obrotowej.

Z tym brakiem obrotu to cenna uwaga. Masę też ciało ma zawsze, obojętnie czy nim rzucamy, czy nie Ten obrót jest hipotetyczny. Tak jak i wtedy, gdy chcemy wyliczyć środek ciężkości bryły za pomocą reguły Guldina.

Dzięki wam poradziłem sobie z tym. Jestem wam wdzięczny...

Jeżeli znamy moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek jej masy, ( środek ciężkości) , to moment bezwładności bryły o masie \(\displaystyle{ m}\) względem innej osi, leżącej po z środkiem jej masy ale _równoległej_ do poprzedniej, daje się latwo wyliczyć stosując twierdzenie Steinera, które głosi, że moment bezwładności względem osi równoległej jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i iloczynu masy bryły przez kwadrat odległości między osiami.
Osie przechodzące przez środek masy nazywamy centralnymi a momenty bezwładności względem tych osi momentami centralnymi.
W.Kr.

A ja się muszę zastanowić czy nie ma tu analogii z probabilistyką. Wariancja jest drugim momentem centralnym.

\(\displaystyle{ \sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2f(x)\,\text{d}x}\)

gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest wartością oczekiwaną (średnią), a \(\displaystyle{ f}\) funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Dla skończonego układu punktów \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\) z wagami \(\displaystyle{ w_1,\dots,w_n}\) sumującymi się do jedności mamy

\(\displaystyle{ s^2=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2w_i,}\)

gdzie średnia \(\displaystyle{ \bar{x}=\sum_{i=1}^nx_iw_i}\)

Tu ewidentnie mamy rozkład mas (wagi to masy), są kwadraty odległości od średniej, która jest środkiem masy tego układu punktów. Musi być jakaś analogia między momentem bezwładności a wariancją.

I już ją widzę. Moment bezwładności układu punktów względem osi to suma momentów każdego z punktów względem tej osi. Moment punktu to iloczyn jego masy przez kwadrat odległości od osi. I teraz proszę popatrzeć: na osi liczbowej zaznaczamy punkty \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\), nasze dane statystyczne, a ich wagi \(\displaystyle{ w_1,\dots,w_n}\) interpretujemy jako masy. WObec tego cały układ ma masę jednostkową. Wtedy \(\displaystyle{ (x-\bar{x})^2}\) to kwadrat odległości punktu \(\displaystyle{ x_i}\) od osi pionowej (prostopadłej do osi liczbowej) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \bar{x}}\) czyli średnią arytmetyczną. Po pomnożeniu przez wagę dostajemy \(\displaystyle{ (x_i-\bar{x})^2w_i}\) czyli moment bezwładności punktu \(\displaystyle{ x_i}\) względem tej osi. To niezmiernie interesujące: analogia fizyczno-statystyczna.

Przecież jakby nie patrzeć, fizyka to praktyczne zastosowanie matematyki do opisu zjawisk. Muszą więc pojawiać się analogie do różnych działów matematyki. I dla tego bardziej lubię fizykę niż 'suchą' matmę ;P

Ja tam matematykę wolę. Moja wiedza z mechaniki sprowadza się do zastosowań całek, prostszych ruchów itp. Ale wypatrywanie analogii jest bardzo ciekawe. A zwłaszcza takich interdyscyplinarnych. Jaką tu mamy interakcję? W naukach przyrodniczych mamy wiele zbiegów okoliczności. Wiele rzeczy naturalnie układa się w całość. Także tu matematyczne pojęcie wariancji dobrze współgra z fizycznym pojęciem momentu bezwładności. Chociaż i moment bezwładności można określić czysto matematycznie, bez uciekania się do fizyki. Zobaczmy np. na głos Pana Kruszewskiego w tej dyskusji (czwarty post w wątku).

Ja obecnie studiuję automatykę i robotykę, zarówno matematyki i fizyki mam bardzo dużo (z samej matematyki m.in. takie przedmioty: algebra, analiza, rachunek prawdopodobieństwa, równania różniczkowe, procesy stochastyczne...). Sama w sobie matematyka jest ciekawa, chociaż nie lubię samej teorii (szczególnie dowodów twierdzeń, zwłaszcza tych, które są oczywiste). I lubię praktyczne zastosowania matematyki, które można spotkać we wszystkich przedmiotach fizycznych, technicznych no i informatycznych.
Co do analogii to zgadzam się z Twoim powyższym postem - są one bardzo ciekawe i też czasami zapamiętuję rzeczy przez skojarzenia z czymś co wcześniej się uczyłem. Przykłady: drgania (analogia między mechanicznymi, a np obwodu RLC), momenty bezwładności, etc. No i ta analogia z probablistyką mi się bardzo podoba

Ona jest z kategorii niebywałych. A ostatnio wspólnie z koleżanką badamy funkcje wypukłe metodami probabilistycznymi. To są analogie matematyczno-matematyczne. Jednak łączą dość odległe, jakby się wydawało, dziedziny.

PS. O czym rozmawiają dwaj matematycy reprezentujący skrajnie różne dziedziny?

I słusznie.
Bo pogoda to wynik probabilistyczny zmian aury bądź "dynamicznych" równań różniczkowych je opisujących.
W.Kr.