Matematyka.pl

Witam. Mam pytanie o dwa zadania z egzaminu, którego niestety nie udało mi się zaliczyć. O ile 3 zadania były w swej materii nawiązujące w dużej mierze do teorii i w swoich błędach szybko się zorientowałem, dwa wydają mi się czysto rachunkowe, z równaniami których nie byłem w stanie przez 1,5 godziny obliczyć, dlatego zastanawiam jaki może być sposób czy rozumowanie by to uprościć.

1) Znaleźć kresy funkcji \(\displaystyle{ \frac{x - 2y}{1 + 4x^{2} + 9y^{2}}}\) - od razu zaznaczam że najprawdopodobniej tutaj nie chodzi o liczenie przez szukanie punktów krytycznych, bo wychodzą ciężkie w obliczeniu równania.

2) Znaleźć kresy funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = xt - zy}\) na rozmaitości \(\displaystyle{ M = { \left\{ x+y+z+t = 8 , x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 25 \right\}}\)

Cóż ja na egzaminie liczyłem zupełnie na pałę, miałem oczywiście błędy rachunkowe, ale straciłem w sumie na tych dwóch zadaniach 5 punktów, a rachunki nie były jakieś okropne.

W pierwszym po prostu szukamy punktów krytycznych, przy czym wygodnie było z obu równań wyznaczyć \(\displaystyle{ 1 + 4x^{2} + 9y^{2}}\) i przyrównać. Stąd wyliczało się jedną zmienną za pomocą drugiej i wstawiało do jednego z początkowych równań dostając już równanie kwadratowe.
Należy jeszcze powiedzieć, że w znalezionych punktach są ekstrema, bo w punktach krytycznych są wartości rożnych znaków, a na dużych elipsach wypełniających dopełnienie jakiegoś zbioru zwartego nasza funkcja jest mała co do modułu.

W czwartym było znacznie gorzej- mnożniki dawały dwie pary równań- w każdym wyliczając sumę niewiadomych na dwa różne sposoby otrzymywało się albo jeden mnożnik równy zero, albo \(\displaystyle{ +-\frac{1}{2}}\) (nie pamiętam TeXowej formułki na znaczek "plus minus"), a stamtąd już szybko sprzeczność, albo w obu parach wychodziła równość między zmiennymi, potem zostawał już prosty układ kwadratowy.