Projekcja kanoniczna.

[kp1311]

Niech\(\displaystyle{ R}\) będzie relacją równoważności na \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\), \(\displaystyle{ \pi: X \rightarrow X/R}\) projekcja kanoniczna.
Pokazać równoważność 1) i 2):
\(\displaystyle{ 1)}\) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in X}\): \(\displaystyle{ x_{1} R x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2})}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) Istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ g:X/R \rightarrow Y}\) takie że: \(\displaystyle{ f=g\pi}\)



\(\displaystyle{ 1) \Rightarrow 2)}\)
szkic: określam relacje \(\displaystyle{ g \subset X/R \times Y}\) taką że \(\displaystyle{ [x]g y \Leftrightarrow y=f(x_{0})}\)dla pewnego \(\displaystyle{ x_{0} \in [x]}\).
Teraz dowodzę że ta relacja jest funkcją: \(\displaystyle{ [x]g y_{1} \wedge [x] g y_{2} \Rightarrow y_{1}=y_{2}}\).

\(\displaystyle{ 2) \Rightarrow 1)}\)
\(\displaystyle{ x_{1} R x_{2} \Rightarrow \pi (x_{1}) = \pi (x_{2}) \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})}\)

Czy to jest dobrze?
Wystarczy tylko tak/nie.

[pawels]

Zapisując to rozwiązanie np. w pracy domowej w \(\displaystyle{ 1) \Rightarrow 2)}\) można by jeszcze napisać czemu znaleziona \(\displaystyle{ g}\) spełnia warunki zadania, albo przynajmniej wspomnieć, że jest to oczywiste.

Poza tym wydaje się być ok.