Matematyka.pl

Musi być indukcyjnie?

\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{4}}\cdot \frac{n (n - 1)}{1\cdot 2} + \ldots + \frac{1}{n^{2k}}\cdot \frac{n\cdot\ldots\cdot(n - k)}{(k + 1)!} + \ldots + \frac{1}{n^{2n}} \frac{n!}{n!} < \\< 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2!} + \ldots + \frac{1}{n^{k}} \frac{1}{(k+1)!} + \ldots + \frac{1}{n^{n}} \frac{1}{n!} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{3} \frac{1}{(k+1)!} + \ldots + \frac{1}{3} \frac{1}{n!} < \frac{3}{2} + \frac{1}{3}\left(e - \frac{3}{2}\right) < 2}\)

Alternatywnie - korzystając z nierówności między średnią harmoniczną i geometryczną wykazujemy, że ciąg po lewej stronie jest malejący i pokazujemy, że jego drugi wyraz spełnia nierówność.

Mój dowód również nie będzie stricte indukcyjny. Jednak będę korzystał z nierówności Bernoulliego (którą właśnie dowodzi się indukcyjnie):
Dla dowolnie ustalonej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>-1}\) i dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ (1+x)^n \geq 1+nx}\).

Wpierw przekształcimy \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n^2})^n}\) do takiej postaci, by móc skorzystać z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n^2})^n= (\frac{ n^2 +1}{n^2 })^n= \frac{1}{ (\frac{n^2 }{n^2 +1})^n}=\frac{1}{ (1- \frac{1}{n^2+1})^n }}\)
Patrząc na nierównośc Bernoulliego przyjmujemy \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{n^2 +1}}\). Nasz x spełnia założenia ponieważ:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2 +1}<1. }\)
Korzystając więc z nierówności Bernoulliego mamy:
\(\displaystyle{ \left(1 - \frac{1}{n^2 +1}\right)^n \geq 1+n \cdot\left(- \frac{1}{n^2 +1}\right)=1 - \frac{n}{n^2 +1}}\)
Mamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ ( 1- \frac{1}{n^2 +1})^n} \leq \frac{1}{1 - \frac{n}{n^2+1}}=\frac{1}{ \frac{n^2+1-n}{n^2+1}}=\frac{n^2 +1}{n^2 +1 - n}= 1+ \frac{n}{n^2 - n+1}.}\)

Do wykazania jest więc nierówność \(\displaystyle{ 1+ \frac{n}{n^2 -n+1} <2\\ n^2-n+1+n-2<0 \\ (n-1)^2 >0}\)
Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) ostatnia nierówność jest prawdziwa, a wcześniejsze przekształcenia były równoważne, więc nierówność \(\displaystyle{ 1+ \frac{n}{ n^2 - n+1} <2}\) została pokazana. A ponieważ \(\displaystyle{ (1 + \frac{1}{n^2})^n \leq 1+ \frac{1}{n^2 - n+1}}\), więc wykazaliśmy, że \(\displaystyle{ ( 1+ \frac{1}{n^2})^n <2}\).

Również niezbyt indukcyjnie, ale...

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}}\)

Post uszkodzony.

uhm, ja jeszcze dla uściślenia podam, że w nierówności bola lewa strona jest ograniczona z góry przez \(\displaystyle{ e}\), dlatego ten sposób działa

i bdb! aaaaa czy nasz ciag \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{n^2})^n}\) jest ...malejący.?

Tak, malejący i ograniczony od dołu przez \(\displaystyle{ 1}\):
Z nierówności między średnią harmoniczną i geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} < \sqrt[n + 1]{1\cdot\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}\\
L = \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}}} = \frac{n + 1}{1 + \frac{n^{3}}{n^{2} + 1}}=\\
= \frac{(n + 1)(n^{2} + 1)}{1 + n^{2} + n^{3}} = \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n^{3} + n^{2} + 1} =\\
= 1 + \frac{1}{n^{2} + n + \frac{1}{n}} > 1 + \frac{1}{n^{2} + 2n + 1} = 1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}}\)
Zatem w wypisanej powyżej nierówności lewą stronę możemy zastąpić przez:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}}\)
Otrzymując:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}} < \sqrt[n + 1]{\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}\\
\left(1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}\right)^{n + 1} <\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}\)
ckd odnośnie monotoniczności (a odnośnie ograniczenia, to widać, że zawsze podnosimy do dodatniej potęgi liczbę większą od \(\displaystyle{ 1}\))

Trochę te szacowanie mi nie pasuje, bo szacujesz lewą stronę czymś mniejszym, a nie większym.

bolo pisze:Trochę te szacowanie mi nie pasuje, bo szacujesz lewą stronę czymś mniejszym, a nie większym.

hmm...
otrzymaliśmy dokładnie co następuje:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}< \frac{n + 1}{1 + \frac{n}{1 + \frac{1}{n^{2}}}} < \sqrt[n + 1]{\left(1 + \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}}}\)
powołując się przy tym na przechodniość relacji mniejszości mamy:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{(n + 1)^{2}}}\)

OK, pasuje mi już