Matematyka.pl

Witam.

Mam problem ze zrozumieniem, jak podstawić pod wzór z kryterium D'Alemberta.
Mogłby mi ktoś to wytłumaczyć na konkretnych przykładach?

Weźmy na przykład: \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-2) ^{n} }{(n+1)!}}\)

albo: \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n!(n+2)}{(n+1)!}}\)

Jeśli chodzi o przykład pierwszy to:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-2)^{n}}{(n+1)!}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{(-2)^{n}}{(n+1)!}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{(-2)^{n+1}}{(n+2)!}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ a_{n+1} }{a_{n}}= \lim_{n \to \infty } \frac{(-2)^{n}*(-2)*(n+1)!}{(n+1)!*(n+2)*(-2)^{n}}= \lim_{n \to \infty } \frac{-2}{n+2} = 0 <1}\)
więc szereg ten jest zbieżny

Drugi przykład robi się podobnie

Do postu powyżej. Trzeba pamiętać o wartości bezwzględnej.

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{(-2) ^{n+1} }{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(-2) ^{n} } \right|}\)