Matematyka.pl

Witam
Czy mógłby ktoś rozwiązać to zadanie krok po kroku, tak żebym to zrozumiała?

W grupie permutacji \(\displaystyle{ S _{4}}\) liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3, 4\right\}}\) niech \(\displaystyle{ H = S _{3}}\) oznacza podgrupę tych permutacji, które przeprowadzają liczbę 4 w siebie. Niech \(\displaystyle{ H _{1}}\) będzie podgrupą składającą się z trzech permutacji: \(\displaystyle{ (1, 2, 3), (3, 2, 1),(1)}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ H _{1}}\) jest dzielnikiem normalnym w \(\displaystyle{ H}\) ale nie jest dzielnikiem normalnym w całej grupie \(\displaystyle{ S _{4}}\) .-- 30 sty 2012, o 17:27 --To może chociaż ktoś mi podpowie jak będzie wyglądało \(\displaystyle{ H=S _{3}}\)?

\(\displaystyle{ H}\) jest dzielnikiem normalnym, bo jest indeksu 2 (wystarczy zauważyć, że są tylko dwie warstwy względem \(\displaystyle{ H}\) i jakie są tego konsekwencje).

Aby pokazać, że nie jest normalna w całym \(\displaystyle{ \sum_{4}}\) można np. wskazać automorfizm wewnętrzny ruszający ją z miejsca. Wiadomo, że sprzężenie nie zmienia typu, czyli można się spodziewać, że wystarczyłoby delikatnie poruszyć czwórką- np. sprzężyć transpozycją \(\displaystyle{ (1,4)}\). Nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ (1,4)(1,2,3)(1,4)=(2,3,4)\notin H}\), czyli \(\displaystyle{ H}\) nie nie jest normalna.