Grupa ilorazowa cykliczna

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Awatar użytkownika
fanch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 82 razy

Grupa ilorazowa cykliczna

Post autor: fanch » 30 sty 2012, o 03:11

Jak pokazać, że gdy:
\(\displaystyle{ G}\) -grupa skończona,
\(\displaystyle{ G/Z(G)}\) - cykiczna, to G jest abelowa ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

Grupa ilorazowa cykliczna

Post autor: tkrass » 30 sty 2012, o 04:18

Rozważ generator grupy \(\displaystyle{ G/Z(G)}\).

Awatar użytkownika
fanch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 82 razy

Grupa ilorazowa cykliczna

Post autor: fanch » 30 sty 2012, o 15:03

Wiem, że zbiór \(\displaystyle{ G/Z(G)=}\){\(\displaystyle{ aZ(G),a \in G}\) } jest takiej postaci. Generatorem będzie

\(\displaystyle{ <gZ(G)>}\), dla pewnego \(\displaystyle{ g \in G}\) ?

No i jak stąd dojść do tego ze G jest abelowa ?

Rozumiem, że elementami \(\displaystyle{ <gZ(G)>}\) są ga=ag (bo a jest z centrum) i zachodzi przemienność, ale jak stąd wynika , że to zachodzi dla każdych a,b z G ?

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

Grupa ilorazowa cykliczna

Post autor: tkrass » 30 sty 2012, o 17:34

No to teraz weź dowolne dwa elementy grupy \(\displaystyle{ G}\), zapisz je jako ten generator razy coś i pokaż, że \(\displaystyle{ xy=yx}\).

Awatar użytkownika
fanch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 82 razy

Grupa ilorazowa cykliczna

Post autor: fanch » 30 sty 2012, o 18:17

no właśnie nie wiem razy co ?

I mam jeszcze pytanie, czy z tego, że G/Z(G) jest cykliczna wynika to ze G jest cykliczna ?

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

Grupa ilorazowa cykliczna

Post autor: tkrass » 30 sty 2012, o 20:46

fanch pisze:no właśnie nie wiem razy co ?
Razy coś z centrum.
fanch pisze:I mam jeszcze pytanie, czy z tego, że G/Z(G) jest cykliczna wynika to ze G jest cykliczna ?
Oczywiście nie, wtedy dowolna grupa abelowa musiałaby być cykliczna.

ODPOWIEDZ