Matematyka.pl

Problem: --> Dane są dwa ciągi xn i yn liczb rzeczywistych , przy czym gdy n=0, 1, ....to :
\(\displaystyle{ x_{n+1} = x_n^3-3x_n}\)
\(\displaystyle{ y_{n+1} = y_n^3-3y_n}\)
i \(\displaystyle{ x_0^2 = y_0 +2}\)
Dowiesć, ze wtedy \(\displaystyle{ x_n^2 = y_n +2}\) dla n=1, 2,..... Dac jawny przyklad tak splecionych ze soba ciagów....

Dowód najzwyklejszą indukcją... proste przykłady:
\(\displaystyle{ x_{n} = (-1)^{n}\cdot\sqrt{2}\\
y_{n} = 0}\)

\(\displaystyle{ x_{n} = (-2)^{\mathrm{sgn}\, n}\\
y_{n} = -(-2)^{\mathrm{sgn}\, n}}\)

ok, daj szkic tej indukcji...

Ja robiłem indukje po ciągu y. I faktycznie jest dość zwyczajna.

\(\displaystyle{ y_{n+1}=(x_{n}^{2}-2)^{3}-3x_{n}^{2}+6=(x_{n}^{3}-3x_{n})^{2}-2=x_{n+1}^{2} -2}\)

ja zrobiłem po ciągu x - trochę więcej liczenia, ale zamysł i efekt ten sam...