Matematyka.pl

Wspólnie z kolegami próbowaliśmy wyprowadzić pewne zależności dla ostrosłupów, która byłyby całkiem przydatnymi dla potomności wzorami tablicowymi. Niestety niektóre dowody stają w miejscu w różnych punktach, ale wszystkie te problemy można sprowadzić do jednego:

Dany jest ostrosłup (niekoniecznie prawidłowy) o podst trójkąta równobocznego (o boku a), i kątach ścian bocznych przy wierzchołku tego ostrosłupa równych alfa,beta, gamma. Oblicz wysokość ostrosłupa.

Z braku rysunku i chęci jego stworzenia i umieszczenia tu, opisze mniej więcej o co chodzi z tymi kątami (jesli tresc nie jest dostatecznie jasna): przy wierzchołku ostrosłupa (nie należącym do podstawy, czyli trójkąta równobocznego o boku a) stykają się 3 kąty płaskie, należące do 3 różnych trójkątów, będących scianami bocznymi ostrosłupa. to własnie te kąty mają miary alfa,beta,gamma.

Uprzedzam że zadanie nie jest łatwe, klasa maturalna o profilu mat-fiz-inf nie ruszyła go wcale lub zabrnęła w rachunkach (70 układów równań ze 189 niewiadomymi lub podobnie).

Będe niezmiernie wdzieczny za pomoc.

PS. Nie interesuje mnie samo spisanie wzoru z tablic, o których istnieniu nie wiemy, chciałby wyprowadzenia/naprowadzenia na wynik...

\(\displaystyle{ \frac{x}{h}\,=\,cot(\alpha )}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{h}\,=\,cot(\beta )}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{h}\,=\,cot(\gamma )}\)

Kreślę odcinek EF równoległy do BC, oraz odcinek GS równoległy do AC.
Wyznaczam długość boku trójkąta AEF
\(\displaystyle{ \frac{x}{|EC|}\,=\,\sin(60^{o})}\)
\(\displaystyle{ |AE|\,=\,a - \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ |ES|\,=\,\frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
a następnie długość boku trójkąta GSF.
\(\displaystyle{ |FS|\,=\,a - \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
Wyznaczam z
\(\displaystyle{ \frac{z}{|FS|}\,=\,\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z\,=\,|FS|\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\,=\,(a - \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{2})})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
stąd
\(\displaystyle{ a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\,=\,x + y + z}\)
podstawiając za x,y i z otrzymujemy
\(\displaystyle{ h\,=\,(\frac{\sqrt{3}}{2} a)\cdot (\frac{1}{ cot(\alpha ) + cot(\beta ) + cot(\gamma ) })}\)

Fajna zależność, ale chodziło o cos troszke innego:

Korzystając z oznaczen Twojego rysunku:
W moim zadaniu dany jest bok a, oraz kąty AWB, BWC, CWA, nic więcej, a juz zwlaszcza NIE są dane alfa beta gamma z twojego rysunku :/

Byćmoze da sie łatwo sprowadzic to do formy takiej jak twoja, ale niemam pomysłu...

Da sie to w prosty sposób rozwiązać? prosze w dalszym ciagu o podpowiedzi/rozwiązania.

Jeżeli znamy kąt przy wierzchołku i długość odcinka leżącego na przeciwko kąta,
to łatwo możemy wyznaczyć promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Jak wiadomo okrąg ten ma tę własność, że z każdego punktu na nim,
kąt widzenia danej cięciwy jest taki sam.

Ale ponieważ nie znamy kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy,
musimy rozważyć wszystkie okręgi o tym promieniu, mające wspólną cięciwę.
Utworzą one powierzchnie toroidalną. Rozważając wszystkie trzy ściany boczne,
dojdziemy do wniosku, że wierzchołek jest częścią wspólną trzech torusów.
Moglibyśmy zatem spróbować rozwiązać to analitycznie. Oczywiście można
napisać równania tych trzech powierzchni. Ale nie sądzę by dało się rozwiązać
taki układ równań metodami elementarnymi.