Matematyka.pl

1. Czy pierścienie 2\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) i 3\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) są izomorficzne ?
2. Jak pokazać, że każda grupa rzedu 100 zawiera normalną podgrupę właściwą ?

Będę wdzieczny za pomoć,
pozdr.

ad 1.

Daleko jestem od kursu algebry, ale popatrz na takie rozumowanie. Powiedzmy, że oba pierścienie są izomorficzne. Prawdę mówiąc to są ideały w pierścieniu liczb całkowitych, a nie pierścienie, bo nie zawierają jedynki. Owszem, prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania zachodzi. Są to pierścienie bez jedynki.

Gdyby więc były izomorficzne, to izomorficzne byłyby pierścienie ilorazowe. Ale \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\bigr/_{\displaystyle 2\mathbb{Z}}\simeq \mathbb{Z}_2}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\bigr/_{\displaystyle 3\mathbb{Z}}\simeq \mathbb{Z}_3}\). Te pierścienie nie są izomorficzne w sposób oczywisty.