Matematyka.pl

1 \(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt{n}}\)

proszę o rozpisanie go przy różnicy.

Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>0}\), gdyż \(\displaystyle{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}>0}\).
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest rosnący.

co zrobiłeś po \(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} =...}\) , jak pozbyłeś sie pierwiastków i jak stworzyłeś ułamek z mianownikiem z pierwiastkiem.

Pomnożył przez
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}}\)

mam jeszcze taki ciąg:

\(\displaystyle{ a _{n} =n ^{2} -7n+10}\)

różnica wychodzi mi 2n-6 no o i wg mnie jest on rosnący, a w odpowiedziach jest napisane, że niemonotoniczny, dlaczego?

Bo dla \(\displaystyle{ n<3}\) ciąg jest malejący, a dla \(\displaystyle{ n>3}\) jest rosnący.

Mam w sumie podobną monotoniczność do zbadania, z tym że:

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+5}}\)

Niestety nie wiem, jak mógłbym go policzyć metodą zastosowaną w przypadku pierwszym, a wygląda na to, że w tym kierunku należy zmierzać... Myślę, że powinno to być badane z różnicy, tylko jak należy to dalej rozpisać?

Będę wdzięczny za pomoc.

Zastosuj wzór na różnicę kwadratów.