Casus irreducibilis w równaniu 3.go stopnia
: 23 sty 2012, o 16:41
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in \mathbb{R} \wedge a \neq 0}\)
Jeśli dla tego wielomianu zachodzi związek \(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}\right)^2}{4}+\frac{\left(\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\right)^3}{27}<0}\), to ten wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste. Niech ten związek zachodzi dla tego wielomianu, wówczas:
Pierwiastki tego wielomianu można wyznaczyć za pomocą wzorów ogólnych:
\(\displaystyle{ x_1=-\frac{b}{3a}-\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}\\ \\ -\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)} \\ \\ x_2=-\frac{b}{3a}+\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}\\ \\ +\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)} \\ \\ x_3=-\frac{b}{3a}+\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}\\ \\ +\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}}\)
Pierwiastki tego wielomianu (przy takim warunku jaki został powyżej podany) można wyznaczyć w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x_1'=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \frac{ \alpha }{3}-\frac{b}{3a} \\ x_2'=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a} \\ x_3'=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{4\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{3\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}}{2\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}}}}\)
Moje pytanie jest następujące - Czy jest jakiś uniwersalny sposób aby wyznaczyć 3 pary postaci \(\displaystyle{ x_i=x_j'}\) gdzie \(\displaystyle{ i=1,2,3;j=1,2,3}\) (czyli znaleźć równości między pierwiastkami bez primów i tymi z primami - które z nich są sobie równe?)?
Jeśli dla tego wielomianu zachodzi związek \(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}\right)^2}{4}+\frac{\left(\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\right)^3}{27}<0}\), to ten wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste. Niech ten związek zachodzi dla tego wielomianu, wówczas:
Pierwiastki tego wielomianu można wyznaczyć za pomocą wzorów ogólnych:
\(\displaystyle{ x_1=-\frac{b}{3a}-\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}\\ \\ -\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)} \\ \\ x_2=-\frac{b}{3a}+\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}\\ \\ +\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)} \\ \\ x_3=-\frac{b}{3a}+\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d+\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}\\ \\ +\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2b^3-9abc+27a^2d-\sqrt{(2b^3-9abc+27a^2d)^2-4(b^2-3ac)^3}\right)}}\)
Pierwiastki tego wielomianu (przy takim warunku jaki został powyżej podany) można wyznaczyć w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x_1'=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \frac{ \alpha }{3}-\frac{b}{3a} \\ x_2'=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a} \\ x_3'=2\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}} \cdot \cos \left(\frac{ \alpha }{3}+\frac{4\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{3\frac{-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{cb}{3a}+d}{a}}{2\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}\sqrt{-\frac{\frac{\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}+c}{a}}{3}}}}\)
Moje pytanie jest następujące - Czy jest jakiś uniwersalny sposób aby wyznaczyć 3 pary postaci \(\displaystyle{ x_i=x_j'}\) gdzie \(\displaystyle{ i=1,2,3;j=1,2,3}\) (czyli znaleźć równości między pierwiastkami bez primów i tymi z primami - które z nich są sobie równe?)?