Matematyka.pl

Czy w przestrzeni ściągalnej każda pętla jest homotopijna z pętla stałą?

Odpowiedź wydaje się być twierdząca- np składając homotopię łączącą identyczność z przekształceniem stałym, równym miejscu zaczepienia naszej pętli, z naszą pętla otrzymujemy o mało co homotopię pętli- nie mamy tylko pewności czy trzymane są końce...

Hmm... Masz może darmowego Hatchera? To jest Proposition 1.5 + komentarz przed tym.

Niestety dotychczas na podstawowym kursie topologii nie była mi potrzebna żadna literatura poza skryptem. Czy pamiętasz przynajmniej jaka była odpowiedź?

Trzeba trochę poprawić tę homotopię ściągającą, żeby zachowywała punkt bazowy \(\displaystyle{ x_0}\). Przy tej homotopii punkt \(\displaystyle{ x_0}\) porusza się po pewnej pętli \(\displaystyle{ \alpha}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ \alpha_{s}(t) = \alpha( \frac{t}{s})}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\); poruszamy się zatem pętlą \(\displaystyle{ \alpha}\) tylko do czasu \(\displaystyle{ s}\). Pokażmy teraz jak ściągnąć pętlę \(\displaystyle{ \omega}\) do pętli stałej w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\), przy czym homotopię ściągającą przestrzeń oznaczamy przez \(\displaystyle{ H_{s}}\). Definiujemy homotopię:
\(\displaystyle{ \omega_{s} = \alpha_{s} * H_{s}(\omega) * \overline{\alpha_{s}}}\).
Idea jest bardzo prosta; najpierw podróżujemy do nowego punktu bazowego, potem idziemy ściąganą pętlą, a następnie wracamy do \(\displaystyle{ x_{0}}\).
Przy okazji: książka Hatchera jest dostępna na jego stronie internetowej.