Matematyka.pl

Zadanie jest takie:
Dany jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\), który jest bezwzględnie zbieżny oraz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_n}\), który jest zbieżny. Należy udowodnić, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n}\) jest bezwzględnie zbieżny. "Słyszałem pogłoski", że można do tego użyć warunku Cauchy'ego, ale jak dokładnie - nie mam pojęcia. Jest ktoś, kto potrafi to udowodnić?

Rozumiem, że chodzi o tw. Mertensa? Tak uzywa się tam w dowodzie (przynajmiej taki jaki ja znam) warunku Cauchy'ego.

No nie do końca, w tw. Mertensa masz iloczyn Cauchy'ego, a tu iloczyn po wyrazach. Chyba, że można jedno przenieść na drugie prosto...?

EDIT:

Em... Nie jestem pewien, czy to, co napiszę jest prawdziwe, bo trochę... trywialne:
\(\displaystyle{ b_n \rightarrow 0 \Rightarrow \exists_M |b_n| < M}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{m} |a_k b_k| < \sum_{k=n}^{m} M|a_k| = M \sum_{k=n}^{m} |a_k|}\), czyli z war. Cauchy'ego, czy kryterium porównawczego, czy czegoś podobnego, wiemy, że \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{m} |a_k b_k|}\) jest zbieżny.

Poprawnie?

Wiem, ze jest tam iloczyn Cauchy'ego. Poprstu błędnie załozyłem, że o niego właśnie Ci chodzi.

To co napisałeś wygląda poprawnie (inaczej, nie widzę tutaj błedu).