Matematyka.pl

Zad. 1
Udowodnij, że każdą liczbę nieparzysta podniesiona do kwadratu można przedstawić w postaci 8k-1.

Zad. 2
Wykaż, że \(\displaystyle{ 3^{80}+7^{80}}\) przystaje \(\displaystyle{ 2\pmod{5}}\).

Dwie błędne tezy?? Hahah

Pozwolę sobie odkopać. Teza zadania drugiego jest jak najbardziej w porządku.
\(\displaystyle{ 3^{80}+7^{80}\equiv \left(-2\right)^{80}+2^{80}\equiv 2^{80}+2^{80}\equiv 2 \cdot 2^{80}\equiv 2 \cdot \left(2^{4}\right)^{20} \equiv 2 \cdot 16^{20} \equiv 2 \cdot 1^{20} \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2 \pmod{5}}\)
i gra gitara. W pierwszym zadaniu wystarczy zamienić \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +}\) i po sprawie.
Liczby nieparzyste są postaci \(\displaystyle{ 4n \pm 1}\), więc ich kwadraty to: \(\displaystyle{ 16n^{2} \pm 8n +1=8\left(2n^{2} \pm n\right)+1}\) co kończy dowód.