Matematyka.pl

Mam zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ z^{3}=2-2i}\)

Do tej pory nie robiłem przykładu w której z było by do jakiejś potęgi.
Wystarczy, że z zamienię na \(\displaystyle{ (x+iy)^{3}}\) czy muszę to jakoś przekształcić na postać tygonometryczną?

zastosuj wzór na pierwiastki liczby zespolonej.

tak ale do wzoru potrzebuję z a nie \(\displaystyle{ z^{3}}\)

\(\displaystyle{ z^{3} =2-2i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{2-2i}}\)

ok ale to nic nie daje bo nie mogę wyodrębnić x oraz y // z=(x+iy)
chyba zebym za \(\displaystyle{ z^{3}}\) podstawił bym jakąś zmienną zespoloną np t i policzył jej pierwiastki ale nie wiem czy to będzie miało sens

\(\displaystyle{ z_{k} = \sqrt[n]{r} (cos \frac{ \phi +2k \pi }{n} +isin \frac{ \phi +2k \pi }{n})}\)

gdzie\(\displaystyle{ k=0,1,...,n-1}\)i są to rozwiązania równa nia \(\displaystyle{ x^{n} =z}\)

mam ten wzór przed sobą i zrobiłem już kilka przykładów z jego użyciem tylko ze potrzebuję wyznaczyć
\(\displaystyle{ sin \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ cos \alpha}\) a do tego potrzebuję części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej np
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ cos \phi= \frac{2}{ \sqrt{ 2^{2} + (-2)^{2} } } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \phi= \frac{-2}{ \sqrt{ 2^{2} + (-2)^{2} } } = -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{4}}\)

Hmmm czyli można olać to, że wszystko jest spierwiastkowane?

Nie, wyznaczasz \(\displaystyle{ cos \phi}\) i \(\displaystyle{ sin \phi}\) z przykładu który podałeś i podstawiasz to do wzoru który jest wyżej, żeby mieć pierwiastek z liczby zespolonej. Pierwiastek jest 3 stopnia, więc ma 3 pierwiastki więc wyznacz:
\(\displaystyle{ z _{0}}\) , czyli k=0
\(\displaystyle{ z _{1}}\) , czyli k=1
\(\displaystyle{ z _{2}}\) , czyli k=2

W takim razie jaka jest róznica miedzy pierwiastkami trzeciego stopnia liczby:
\(\displaystyle{ z=x+iy}\) a \(\displaystyle{ z^{3}=x+iy}\)?
Skoro i w jednym i w drugim przypadku wyznaczam x i y z podanych przez Ciebie wzorów?
Coś tu się nie trzyma kupy...

\(\displaystyle{ z _{0} = \sqrt[3]{ \sqrt{8} } (cos \frac{ \frac{ \pi }{4}+2*0 \pi }{3} +isin\frac{ \frac{ \pi }{4}+2*0 \pi }{3})}\)
\(\displaystyle{ z _{1} = \sqrt[3]{ \sqrt{8} } (cos \frac{ \frac{ \pi }{4}+2*1 \pi }{3} +isin\frac{ \frac{ \pi }{4}+2*1 \pi }{3})}\)
\(\displaystyle{ z _{2} = \sqrt[3]{ \sqrt{8} } (cos \frac{ \frac{ \pi }{4}+2*2 \pi }{3} +isin\frac{ \frac{ \pi }{4}+2*2 \pi }{3})}\)

Ok pytanie jeszcze jak mogę zastąpić \(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{12}}\) bo z 15 stopni nie ma w podstawowych tablicach.

Wolfram Alpha podaje jako jeden z pierwiastkow -1-i a tu w zyciu tak nie wyjdzie...

Nie wiem czy rozumiem, ale powiem to jakoś tak powoli.
Masz:
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{2-2i}}\) i najprościej mówiąć nie patrzysz na ten pierwiastek tylko wyznaczasz moduł z tego co jest pod pierwiastkiem, a ten pierwiastek wskoczy nam znowu kiedy skorzystamy ze wzoru na pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej. Hmmm nie wiem czy jakos to dobrze wytłumaczyłem.

EDIT:
\(\displaystyle{ sin \frac{ \pi }{12} = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{12} = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}}\)
korzystaj ze wzorów redukcyjnych