Równanie różniczkowe cząstkowe - postać kanoniczna
: 21 sty 2012, o 00:16
Mam równanie:
\(\displaystyle{ \tg^{2}x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2y\tg x \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \tg^3 x \frac{\partial u}{\partial x}=0}\)
Wyliczyłem delte: \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
Wychodzi więc, że ma wyjść paraboliczne.
\(\displaystyle{ \xi (x,y) = y + \sin x}\)
a jako ete przyjmuję:
\(\displaystyle{ \eta (x,y) = x}\)
(jakobian się nie zeruje, więc OK).
Po wyliczeniu i podstawieniu wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin^2 x U_{\xi \xi} + \frac{\sin^2 x}{\cos x} U_{\xi \eta} + \tg^2 x U_{\eta \eta} - 2y(\sin x U_{\xi \xi} + \tg x U_{\xi \eta}) + y^2 U_{\xi \xi} + \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}U_{\xi} ++ \tg^3 x U_{\eta}=0}\)
To co jest z \(\displaystyle{ U_{\xi \xi}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{\xi \eta}}\) powinno się wyzerować.
Ktoś ma pomysł jak to zrobić? o . O
\(\displaystyle{ \tg^{2}x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 2y\tg x \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \tg^3 x \frac{\partial u}{\partial x}=0}\)
Wyliczyłem delte: \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
Wychodzi więc, że ma wyjść paraboliczne.
\(\displaystyle{ \xi (x,y) = y + \sin x}\)
a jako ete przyjmuję:
\(\displaystyle{ \eta (x,y) = x}\)
(jakobian się nie zeruje, więc OK).
Po wyliczeniu i podstawieniu wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin^2 x U_{\xi \xi} + \frac{\sin^2 x}{\cos x} U_{\xi \eta} + \tg^2 x U_{\eta \eta} - 2y(\sin x U_{\xi \xi} + \tg x U_{\xi \eta}) + y^2 U_{\xi \xi} + \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}U_{\xi} ++ \tg^3 x U_{\eta}=0}\)
To co jest z \(\displaystyle{ U_{\xi \xi}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{\xi \eta}}\) powinno się wyzerować.
Ktoś ma pomysł jak to zrobić? o . O