Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniami z granic ciągów. Nie wiem czy moje rozwiązania są poprawne.

1. Obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{2^n+3^n+4^n}}\)

Z trzech ciągów mi wyszło:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{4^n} \le \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{2^n+3^n+4^n} \le \lim_{x \to \infty } \sqrt[2n]{3*4^n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{4^n}=4^{n/2n} = 4^{1/2} = 2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \sqrt[2n]{3*4^n}= \sqrt[2n]{3} * \sqrt[2n]{4 ^{n}}=1*2=2}\)

Moje działania są poprawne ?



2. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\frac{2}{n^2+sin2n} +\frac{4}{n^2+sin4n} +\frac{2n}{n^2+sin2n^2})}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{ \infty } =0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2n}{n^2+1} = \frac{1}{ \infty } =0}\)

Moje działania są poprawne ?



3. Dla jakich \(\displaystyle{ x \in (0, \infty)}\) prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^n+(1/x)^n} > 2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^n+(1/x)^n}= 2+ \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ 2+ \frac{1}{x}> 2 \Rightarrow \frac{1}{x}>0 \Rightarrow x \in(0; \infty)}\)



4. Obliczyć granice ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + ... + \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{ \frac{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{n^2}}{2}*n }=\frac{2}{(1+ \sqrt[3]{n^2})*n}=\frac{2}{\infty}=0}\)

tak (małe literówki)

Ok, pierwsze zatem dobrze. Pomoże ktoś z 2,3,4 ?

Jak masz wątpliwości, to wpisz granice w . Tylko z szeregami sobie średnio radzi...

Próbowałem wolframem, jednak wyszukiwarka nie sprawdzi poprawności moich działań, a zadania 3 w ogóle nie rozwiąże.

2. Dwie granice policzone poprawnie, ale na razie nic z nich nie wynika;
3. Źle, przecież

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + \left( \frac{1}{x} \right)^n} \neq 2+ \frac{1}{x}.}\)

Aby obliczyć tę granicę, zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.


4. Nie rozumiem, skąd pomysł liczenia granicy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{n^2}}{2} \cdot n }.}\)

Jeśli skorzystałeś ze wzoru na ciąg arytmetyczny, to źle, bo tu nie ma ciągu arytmetycznego. Tu przyda się raczej twierdzenie o dwóch ciągach, poparte szacowaniem:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{n}{\sqrt[3]{n^2}}.}\)