Matematyka.pl

Witam
Mam problem z zadaniem z kolokwium. Należy wyznaczyć okres wahań ciała dla małych wychyleń.
Rysunek:

(Siłę F sam narysowałem)
Mamy dane
\(\displaystyle{ m_1=30kg\\m_2=40kg\\m=20kg\\b=0.8m\\c=20 \frac{N}{cm} (= 2000 \frac{kg}{s ^{2} } )\\T=?}\)
c- współczynnik sprężystości
Wiem, że należy skorzystać z równania dynamiki ruchu obrotowego:
\(\displaystyle{ M=I* \frac{d^2\phi}{dt^2}}\)
Dla małych wychyleń \(\displaystyle{ sin\phi =\phi}\) - tak podobno można przyjąć ..
Moment bezwładności samego pręta znamy z tablic, ale jak uwzględnić masy m1 i m2 ?
Jak będzie wyglądało ostateczne równanie ? Proszę o jakąkolwiek pomoc ..

No masy do momentu bezwładności wchodzą w ten sposób: zakładamy, że są punktowe, wtedy ich moment bezwładności to masa razy kwadrat odległość masy od punktu względem którego liczymy moment bezwładności. Czyli moment bezwładności całkowity będzie się składał z sumy trzech członów: dla pręta i dla dwóch mas. Momenty sił są trzy.

No dobra - to czy w takim razie zgodnie z poniższymi oznaczeniami rozwiązanie będzie wyglądało w następujący sposób ?

\(\displaystyle{ \frac{\Delta x}{b} = sin\phi\\\Delta x = bsin\phi = b\phi}\)
(bo dla małych kątów)
Podobnie licząc wychodzą:
\(\displaystyle{ r_1=2b\phi\\r_2=b\phi\\r_3=b}\)
(\(\displaystyle{ cos\phi \approx 1}\) dla małych kątów)



I główne równanie:
\(\displaystyle{ -r_1G_1 - r_2G_2 + r_3F = ( \frac{mb^2}{3} + m_1 (2b)^2 + m_2b^2 ) \frac{d^2\phi}{dt^2}\\F=\Delta x*c}\)
Czy we wzorze na F powinien być minus ?

Wzór na omega - prędkość kątową:
\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \frac{c'}{m'} }}\)
gdzie m' jest współczynnikiem (w równaniu na drgania) przy przyspieszeniu kątowym, a c' przy drodze kątowej (współczynniki te można będzie odczytać po uproszczeniu równania głównego (*))


Z powyższego rozumowania wyszły mi wyniki:
\(\displaystyle{ \omega \approx 0,78 \frac{1}{s} \\ T \approx 8 s}\)

Czy na pewno wszystko tu jest w porządku ?


Bardzo proszę jeszcze raz o ew. poprawki ..

-- 18 sty 2012, o 11:47 --

Przepraszam, że podnoszę temat, ale zależy mi na poprawności rozwiązania - jutro muszę oddać to zadanie (+inny syf, z którym nie mam problemu) na zaliczenie z mechaniki.. Pretty please .. Jeśli by ktoś mógł sprawdzić ...