Matematyka.pl

1. Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym i \(\displaystyle{ \sin \alpha = 4 \cos \alpha}\), wówczas \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{17} }{17}}\).

- doszedłem to rozwiązania \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha =\frac{1}{17}}\) i niewiem dlaczego, po usunięciu kwadratu będzie: \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{17} }{17}}\).

2. Wiadomo, że dla pewnego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) prawdziwy jest warunek \(\displaystyle{ \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } = \frac{7}{3}}\). Zatem. wyrażenie \(\displaystyle{ W = \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha}\) ma wartośc...?

3. Dlaczego wyrażenie \(\displaystyle{ W=\cos ^{4}x - \sin ^{4}x}\) jest równe wyrażeniu \(\displaystyle{ \cos ^{2}x - \sin ^{2}x}\)??

Z góry dzięki za pomoc.

W trzecim skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia i jedynki trygonometrycznej (\(\displaystyle{ a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\))
W pierwszym po spierwiastkowaniu uwolnij się od niewymierności w mianowniku i wykorzystaj też fakt, że jest to kąt ostry.
W drugim zapisz tangensa jako \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\), sprowadź do wspólnego mianownika, skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i będzie już widać.

W pierwszym, w jaki sposób mam wykorzystac fakt że jest to kąt ostry?
W drugim, nie bardzo wiem jak zapisac i potem sprowadzic do wspólnego mianownika \(\displaystyle{ \frac{1}{tg \alpha }}\)
A trzecie będzie wyglądac tak : \(\displaystyle{ (cos^{2}x - sin^{2}x) * 1}\)??

W pierwszym z faktu, że \(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{1}{17}}\) otrzymujemy dwie możliwości: \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{17}}\vee\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{17}}}\) ale ponieważ kąt jest ostry to cosinus musi być dodatni, dlatego tę ujemną możliwość odrzucamy.
W drugim mamy
\(\displaystyle{ \tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=\frac73\\
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac73\\
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac73\\
\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac73\\
\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac73\\
\sin\alpha\cos\alpha=\frac37}\)
no i wartość wyrażenia \(\displaystyle{ W}\) już policzysz.
W trzecim masz już odpowiedź.

Dzięki, za pomoc:) A mógłbyś mi powiedzieć jeszcze jak z \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{17}}}\) przejśc do \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{17}}{17}}\) ??

Pomnóż licznik i mianownik ułamka \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{17}}}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\) - standardowe uwalnianie się od niewymierności w mianowniku.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:

1. Dany jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{6} - \sqrt{5}}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ \cos^{2} \alpha}\)?

2. Liczba \(\displaystyle{ |\cos 22^{\circ}- \cos 21^{\circ}|}\) jest równa \(\displaystyle{ -\cos 22^{\circ} + \cos 21^{\circ}}\) <-- Moje pytanie: skąd wiadomo, że wart. bezwzględna jest ujemna i trzeba zmienić znaki?

3. Przekątne prostokąta, każda długości \(\displaystyle{ 24}\), przecinają się pod kątem o mierze \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). Jaką długość ma dłuższy bok prostokąta?

1) jedynka trygonometryczna.

2) dla kątów ostrych kosinus jest malejący.

3) kąt przekątnej z dłuższym bokiem to 30 stopni.

mógłbyś 2 i 3 wytłumaczyć nieco dokładniej?

2) Jest malejący zatem dla większych kątów jest mniejszy (tam gdzie pisałem).

3) Skoro jest 30 to z funkcji trygonometrycznych go policzysz.