Matematyka.pl

jak policzyć całke

\(\displaystyle{ \int x^{3} \left( \ln x^{4}+2 \right) ^{3} \mbox{d}x}\)

probowałam za \(\displaystyle{ \left( \ln x^{4}+2 \right)}\) podstawić u ale lewa strona wyszła mia taka sama jak prawa
bardzo prosze o pomoc

\(\displaystyle{ \ln{x^{4}}=4\ln{x}}\) i przez części

różniczkując czynnik z logarytmem

chyba nie zbyt Cie rozumiem...
jak
\(\displaystyle{ \ln x ^{4}}\) jest tym samym co \(\displaystyle{ 4\ln x}\)

poza tym różniczkując sam czynnik co stanie sie z tą dwójką?

Ad 1

Właściwości logarytmu


Ad 2

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{3}(lnx^{4}+2)^{3} dx\\
=\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3 }\\
= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot 3\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^{2} \cdot \frac{4}{x} \mbox{d}x }\\
= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-3\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^{2} \mbox{d}x }\\}\)

Dalej spróbuj sama gdyby coś nie wychodziło to pisz

kurcze policzyłam, długo mi to zajeło.
Będe wdzieczna jeśli ktoś sprawdzi mi wynik, bo jest to dla mnie bardzo ważne -> w innym przypadku nie siedziałabym do tak poźna
\(\displaystyle{ \frac{ x^{4} }{4} \left( \ln x ^{4}+2 \right) ^{3} + \frac{ x^{4} }{4} \left( \ln x ^{4}+2 \right) ^{2} + \frac{ x^{4} }{4} \left( \ln x ^{4} +2 \right) ^{1} - \frac{6}{4} x ^{4} +C}\)

Masz źle


\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{3}(lnx^{4}+2)^{3} dx\\
=\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3 \mbox{d}x }\\
= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-\int{\frac{x^{4}}{4} \cdot 3\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^{2} \cdot \frac{4}{x} \mbox{d}x }\\
= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-3\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^{2} \mbox{d}x }\\
\int{x^{3}\left( 4\ln{x}+2\right)^2 }= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{x}+2\right)^2-2\int{ \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) \cdot \frac{4}{x} }\\
\int{x^{3}\left( 4\ln{x}+2\right)^2 }= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{x}+2\right)^2-2\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) }\\
\int_{}^{} x^{3}(\ln{x^{4}}+2)^{3} dx=\frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-\frac{3x^4}{4}\left( 4\ln{x}+2\right)^2+6\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) \mbox{d}x }\\
\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) \mbox{d}x }= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) -\int{ \frac{x^4}{4} \cdot \frac{4}{x} \mbox{d}x }\\
\int{x^{3}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) \mbox{d}x }= \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) - \frac{x^4}{4}\\}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{3}(\ln{x^{4}}+2)^{3} dx\\=\frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-\frac{3x^4}{4}\left( 4\ln{x}+2\right)^2+6\left(\frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) - \frac{x^4}{4} \right)+C\\
\int_{}^{} x^{3}(\ln{x^{4}}+2)^{3} dx= \frac{x^{4}}{4}\left(\left( \ln{ x^4} +2\right)^3-3\left( \ln{ x^4} +2\right)^2+6\left( \ln{ x^4} +2\right)-6 \right)+C}\)

Przedostatnia linijka:

ta trójka jest dlatego bo wyciągałeś stałą przed całke, ale czy przypadkiem ta trojka nie powinna stać przed nawiasem a w nawiasie cała reszta wyrażenia? tak samo jak w tej samej linijce jest wyciągnięta szóstka przed nawias??

przed ostatnia linijka w moim mniemaniu, proszę wytłumacz mi jesli sie mysle

\(\displaystyle{ \frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right)^3-3(\frac{x^4}{4}\left( 4\ln{x}+2\right)^2+6\left(\frac{x^4}{4}\left( 4\ln{\left| x\right| }+2\right) - \frac{x^4}{4} \right))+C}\)-- 16 sty 2012, o 05:36 --a wogole wolfram pokazuje jeszcze co innego:
... 2B2%29%5E3

bardzo zalezy mi na tym przykładzie