Matematyka.pl

Długości boków trapezu prostokątnego twarzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu, ma długość 1. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.

w jaki sposób ramię może być najkrótszym bokiem skoro zawsze jest dłuższe od wysokości? no chyba że to prostokąt

ale to trapez prostokątny, jedno z ramion jest wysokością

faktycznie, masz rację, dla mnie po prostu ramię to ramię, które nie jest wysokością
no więc: oznaczasz sobie wysokość równą \(\displaystyle{ 1}\) i w kierunku zegara \(\displaystyle{ q,q^2,q^3, \ bo \ a_{1}=1}\)
z trójkąta, w którym jednym bokiem jest wysokość, drugim dłuższe ramię a trzecim część dłuższej podstawy równa \(\displaystyle{ q^3-q^2}\) piszesz pitagorasa \(\displaystyle{ q^2=1+(q^3-q^2)^2}\) i z tego równania jeśli dobrze liczę wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)
inaczej mi nie wychodzi
pozdro

\(\displaystyle{ 1}\) - wysokość
\(\displaystyle{ q}\) - podstawa górna
\(\displaystyle{ q^2}\) - drugie ramię
\(\displaystyle{ q^3}\) - podstawa dolna (ta dłuższa)
\(\displaystyle{ q>0}\)

\(\displaystyle{ 1^2+(q^3-q)^2=(q^2)^2}\)
\(\displaystyle{ q^6 - 2q^4 + q^2 + 1 = q^4}\)
\(\displaystyle{ q^6 - 3q^4 + q^2 + 1=0}\)
1 i -1 są pierwiastkami tego równania
\(\displaystyle{ (q + 1)(q - 1)(q^4 - 2q^2 - 1)=0}\)
\(\displaystyle{ q=1 \ lub \ q=-1 \ lub \ q^4 - 2q^2 - 1=0}\)

\(\displaystyle{ q^4 - 2q^2 - 1=0}\)
zmienna pomocnicza
\(\displaystyle{ q^2=t, t>0}\)
\(\displaystyle{ t^2-2t-1=0}\)
delta i pierwiastki
powinno wyjść:
\(\displaystyle{ t_1=1- \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ t_2=1+ \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ t_1<0}\)

\(\displaystyle{ q^2=1+ \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ q= \sqrt{1+ \sqrt{2}}}\)
czyli najdłuższy bok to
\(\displaystyle{ q^3= (\sqrt{1+ \sqrt{2}})^3}\)
\(\displaystyle{ q^3= \sqrt{5 \sqrt{2}+7 }}\)

Jest jeszcze jedna możliwość (bo treść jej nie wyklucza) : wysokość<ramię<podstawa<podstawa (ale ładnie nie idzie).

Szłam zgodnie ze wskazówkami zegara, jeżeli chodzi o kolejnośc boków/wyrazów ciągu

Treść (przynajmniej podana) nie jest precyzyjna i na to chciałem zwrócić uwagę (tyle).