Matematyka.pl

Czy przedstawione poniżej funkcje są ciągłe? Staram się zrozumieć o co chodzi w tej ciągłości...

Proszę o pomoc.

Dokładniejszy obrazek:

Ciągłość "obowiązuje" tylko dla punktów z dziedziny. Tzn. że jeśli punkt do dziedziny nie należy, to nie ma mowy o żadnej ciągłości. Dlatego np. tangens jest ciągły w swojej dziedzinie. Czyli dwie z góry są nieciągłe, a dwie z dołu są ciągłe.

Wojtolino pisze:Ciągłość "obowiązuje" tylko dla punktów z dziedziny. Tzn. że jeśli punkt do dziedziny nie należy, to nie ma mowy o żadnej ciągłości. Dlatego np. tangens jest ciągły w swojej dziedzinie. Czyli dwie z góry są nieciągłe, a dwie z dołu są ciągłe.

A dla mnie wszystkie są ciągłe - bo granice w każdym punkcie dziedziny są równe wartościom funkcji..

Wszystkie są ciągłe w swoich dziedzinach.

JK

piasek101 pisze:A dla mnie wszystkie są ciągłe - bo granice w każdym punkcie dziedziny są równe wartościom funkcji..

Jan Kraszewski pisze:Wszystkie są ciągłe w swoich dziedzinach.

hmm, no ok, to co mówicie wydaje się najlogiczniejsze, ale dlaczego raz się mówi że coś 'jest ciągłe w swojej dziedzinie', a raz że 'jest ciągłe'. Skoro to jest matematyka to jest chyba jedna dobra definicja, ktora mówi kiedy jest coś ciągłe.
I dalej, odwołując się do funkcji pierwszej, na wykładzie było podane że jest ona nieciągła. Typ nieciągłości: luka. Dlaczego?

jozefkarton pisze:hmm, no ok, to co mówicie wydaje się najlogiczniejsze, ale dlaczego raz się mówi że coś 'jest ciągłe w swojej dziedzinie', a raz że 'jest ciągłe'. Skoro to jest matematyka to jest chyba jedna dobra definicja, ktora mówi kiedy jest coś ciągłe.

W kontekście Twoich przykładów jest to to samo stwierdzenie.

jozefkarton pisze:I dalej, odwołując się do funkcji pierwszej, na wykładzie było podane że jest ona nieciągła. Typ nieciągłości: luka. Dlaczego?

Nieciągła to ona byłaby, gdyby dla tego \(\displaystyle{ x}\), gdzie jest "dziura", funkcja przyjmowała jakąś wartość (potocznie: gdzieś nad/pod "kółkiem" byłaby "kropka") - może niedokładnie przerysowałeś?

Jeżeli funkcja jest nieciągłą, to jest nieciągła w pewnym punkcie swojej dziedziny. W jakim punkcie swojej dziedziny miałaby być nieciągła pierwsza funkcja?

JK

NIESTETY, masz racje. Mówie niestety bo nie rozjaśnia mi to problemu ze zbliżającym się egzaminem.

Było powiedziane, że: "funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w każdym pkt. dziedziny" - to spoko.
A potem, że: "Punktem nieciągłości mogą być punkty skupienia dziedziny, ktore do niej nie należą."

Czy to nie zaprzecza samo sobie? Może nie rozumiem czym jest pkt. nieciągłości. Proszę jeszcze tu o troszeczkę pomocy.
Bardzo dzięki za powyższe odpowiedzi.

jozefkarton pisze:Było powiedziane, że: "funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w każdym pkt. dziedziny" - to spoko.
A potem, że: "Punktem nieciągłości mogą być punkty skupienia dziedziny, ktore do niej nie należą."

Czy to nie zaprzecza samo sobie? Może nie rozumiem czym jest pkt. nieciągłości.

Zaprzecza. Kto Ci coś takiego powiedział?

JK

Jest to cytat ze slajdu z wykładu. Na ćwiczeniach szukając punktów nieciągłości potem robiliśmy tak:
np. dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-1}{x}}\)
sprawdzaliśmy czy \(\displaystyle{ 0}\) nie jest też pkt nieciągłości, mimo że nie należy ono do dziedziny. Nie ogarniam tego...

Z definicji - punkt nieciągłości należy do dziedziny.

Tu trochę było :
273141.htm
253220.htm

Jaka to uczelnia?

JK

No tym bardziej, że z rysunku nie wiadomo, jaka jest tak naprawdę dziedzina. A że bzdur Ci trochę nawciskali to już inna sprawa.

Znaczy kwestia jest jak się rozumie pkt. nieciągłości. Według tego jak nas uczą, pkt nieciągłości nie mówi że funkcja jest nieciągła. To zupełnie inna rzecz. Funkcja ma lub nie swoje pkt nieciągłości ktore mogą być w jej dziedzinie i pkt. skupienia jej dziedziny. Natomiast to czy jest ciągła zależy tylko od tego co jest w dziedzinie i tych nieciągłych pkt. nie nazywamy już pkt. nieciągłości.
Są różne szkoły i już w sumie mniejsza o to bo ani to się nigdy nie przyda a do tego egzamin zdany .

Dziwnie Was uczą, bo według tego funkcja ciągła może mieć punkt nieciągłości... Chętnie zobaczyłbym choć jedno rozsądne źródło, w którym używana jest taka terminologia.

JK

A to ci... Szczerze powiedziawszy pierwszy raz coś takiego spotykam. Punkty dziedziny a punkty wykresu to dwie różne rzeczy w końcu... Ale jak do przodu to gratuluję Powodzenia dalej